[Til baka]

Aðalnámskrá grunnskóla
Stærðfræði

INNGANGUR

Þáttur stærðfræði í menningunni birtist annars vegar í þörf fólks hvarvetna í þjóðfélaginu fyrir að leysa þau verkefni sem upp koma og hins vegar í þörf mannsins fyrir vitsmunalega ögrun, að leita lausna og finna hið óþekkta. Við aldalanga iðkun hefur stærðfræðin orðið að alþjóðlegu tungumáli og verkfæri til að miðla upplýsingum og hugmyndum. Hlutverk hennar er að lýsa og skýra viðfangsefni, túlka gögn og segja fyrir um framvindu. Hún tengist náið tilraunum manna til að skilja heiminn umhverfis sig en sýnir einnig mörg dæmi um frjálsa sköpunargáfu mannsins og hæfileika hans til að skapa nýjar hugmyndir. Stærðfræðin er formföst að því leyti að allar niðurstöður hennar eru staðfestar með röksemdafærslum en hún veitir jafnframt svigrúm fyrir hugkvæmni og sköpun.

Stærðfræði er svo samofin menningu og þjóðfélagsháttum að lágmarkskunnátta í henni er hverjum manni nauðsynleg til að takast á við daglegt líf og störf og skilja umheim sinn. Allir þurfa t.d. að skilja mál og vog og átta sig á fjármálum sínum. Aukin almenn tölvunotkun, t.d. notkun töflureikna, kallar á breytta stærðfræðiþekkingu fólks. Ekki er síður mikilvægt að geta tekið afstöðu og metið upplýsingar af tölulegum toga ætli fólk að verða virkir þátttakendur í þjóðfélaginu. Til þess þarf þekkingu og rökvísi en umfram allt nægilegt sjálfstraust til að beita henni.

Um notkun stærðfræði í starfi er það að segja að ekki nægir að miða kunnáttu í stærðfræði við brýnustu þarfir í starfsgreinum eins og þær gerast á hverjum tíma. Miða ætti æskilega kunnáttu við það sem getur nýst fólki í mörgum störfum. Líklegt er að mörg störf eigi eftir að taka breytingum og að margir eigi eftir að skipta um starf, jafnvel oft á lífsleiðinni. Einnig er æskilegt að starfsmaður búi yfir kunnáttu sem gerir honum kleift að sýna frumkvæði í starfi. Slíkir starfsmenn hafa einnig tilhneigingu til að breyta starfinu og stuðla þannig að framförum í þjóðfélaginu.

Stærðfræðin hefur ævinlega haldist í hendur við náttúruvísindin og verið undirstaða framfara í tækni, s.s. verkfræði og hönnun mannvirkja og tækja. Hún er einnig undirstaða margra greina hugvísinda, s.s. hagfræði, og gagnleg stoðgrein félagsvísinda og málfræði. Hún hefur komið við sögu lista, bæði tónlistar, byggingarlistar og myndlistar. Þeir sem ætla að starfa við vísindi þar sem stærðfræði er nýtt og miðla þeim eða hagnýta þau í sérhæfðum störfum verða að fá tækifæri til að kynnast stærðfræðinni á unga aldri og fá góðan tíma til að tileinka sér þá kunnáttu og færni sem þarf til að ná valdi á henni. Traust undirstaða í stærðfræði í grunnskóla er ómetanlegur grundvöllur undir allt nám tengt náttúru- og raunvísindum á síðari stigum.
 
 

Skipan náms

Markmiðasetning í námskrá

Markmið í aðalnámskrá fyrir grunnskóla eru sett fram í þremur flokkum, lokamarkmið, áfangamarkmið og þrepamarkmið. Eðli lokamarkmiða er að gefa heildarmynd af því sem stefnt er að í kennslunni á grunnskólastigi. Þau skýra almennan tilgang náms og lýsa því sem skólar eiga að stefna að og því sem nemendur eiga að hafa tileinkað sér að loknu skyldunámi. Áfangamarkmiðum er deilt niður á þrjú stig, 1.4. bekk, 5.7. bekk og 8.10. bekk. Þau eru meginviðmið í öllu skólastarfi. Þrepamarkmiðin eru sett fram sem safn markmiða eða viðfangsefna til að ná settum áfangamarkmiðum og eiga að mynda stígandi í náminu, allt frá upphafi grunnskóla til loka. Þrepamarkmiðin eru sett til viðmiðunar fyrir skólanámskrárgerð einstakra skóla. Nánar er fjallað um markmiðasetningu í almennum hluta námskrár.

Flokkun markmiða í aðferðir og inntak
Markmið í stærðfræði í aðalnámskrá skiptast í tvennt, markmið varðandi aðferðir og markmið sem snerta inntak. Lögð er áhersla á að gera þessu tvennu jafnhátt undir höfði og að nemendur skynji hvort tveggja sem virkan þátt í stærðfræðinámi.

Fyrstu fjórir flokkar markmiða í stærðfræði fjalla um aðferðir. Þar er lögð áhersla á

Lögð er áhersla á að hægt sé að þjálfa leikni í að takast á við viðfangsefni þar sem lausnir liggja ekki í augum uppi. Sú leikni er samofin öðrum þáttum. Leit að lausnum krefst bæði hugkvæmni og rökvísi og færni í notkun tungumálsins eykur rökvísi. Saman við þessa þætti fléttast samvinna nemenda og tjáskipti þeirra á milli.

Þjálfun tungumálsins er mikilvægur þáttur í að efla stærðfræðilega hugsun. Læsi á texta og myndræna framsetningu, nákvæm notkun tungumáls og táknmáls og hæfni til munnlegrar og skriflegrar tjáningar og tjáskipta við aðra stuðlar allt að dýpri skilningi á stærðfræðilegum hugtökum og aðferðum.

Þá ber að hafa í huga að yfirfærsla stærðfræðinámsins gerist ekki af sjálfu sér. Nemendur þurfa að fá æfingu í að setja kunnáttu sína í samband við kunnuglega hluti og hugtök og beita henni við margvísleg verkefni daglegs lífs og annarra sviða.

Inntak stærðfræðináms á grunnskólastigi er í sex flokkum í aðalnámskrá:

Þótt námsefnið sé aðgreint á þennan hátt í tíu flokka aðferða og inntaks er mikilvægt að flétta inntak og aðferðir saman þannig að nemendur skynji námsefnið sem samstæða heild og það laði fram jákvæð viðhorf þeirra. Nemendur ættu að skynja nám í stærðfræði sem ferli og skapandi athöfn fremur en söfnun afmarkaðrar kunnáttu og þekkingar. Einstök tækniatriði, s.s. mælingar, útreikningar, gerð myndrita o.s.frv., eru tæki til að koma hugmyndum til skila og þjálfun í þeim fær aðeins gildi ef þau eru þáttur í einhverju sem hefur merkingu og tilgang.

Skilningur og kunnátta þarf að haldast í hendur. Skilningur á hugtaki felst m.a. í að setja það í sem víðtækast samhengi við alla aðra tiltæka kunnáttu. Skilningur vex eftir því sem tengsl hugtaks við fleiri og fleiri hluti verða ljósari. Því verður ætíð að gera ráð fyrir að nemendur kynnist fleiri þáttum í stærðfræði en búast má við að þeir nái fullu valdi á. Reiknivélar og tölvur ættu að vera nærtæk hjálpartæki til að létta vinnu en þó fyrst og fremst til að auka skilning á og varpa ljósi á hugtök og aðferðir stærðfræðinnar.
 
 

Flokkun og uppröðun námsefnis

Gert er ráð fyrir að námsefni í stærðfræði í grunnskóla skiptist í meginatriðum í kjarnaefni og ítarefni. Nemendur í hverjum bekk fari nokkurn veginn samstiga í gegnum kjarnaefnið en fái á hverjum tíma ólíkt ítarefni. Kjarnaefnið á að halda hópnum saman. Þá gefst tækifæri til að hafa almennar umræður um efnið, sýna kvikmyndir, myndbönd, tölvuforrit eða hvað eina sem gæti varpað ljósi á námsefnið. Líta má á flokkun og uppröðun efnisins eins og tré þar sem kjarnaefnið er ígildi stofnsins sem allt annað kvíslast út frá og ítarefnið er þá ígildi greina trésins. Auk þess að fara gegnum kjarnaefnið eiga nemendur að fá að fara út eftir greinum þess samkvæmt eigin vali eða yfirveguðu mati kennarans hverju sinni. Lögð er áhersla á að allir nemendur fái ítarefni við sitt hæfi, viðfangsefni sem hjálpa þeim að dýpka skilning sinn og víkka sjónarhorn sitt á eðli og gildi stærðfræðinnar.

Í aðalnámskrá í stærðfræði eru stundum gefin dæmi um viðfangsefni á ólíkum stigum námsins. Hlutverk sumra þeirra er að sýna þyngdarstig og gefa sýnishorn af því hvernig verkefni séu líkleg til að laða fram röksemdafærslur við hæfi nemandans á viðkomandi námsstigi. Flestir námsþættir stærðfræðinnar birtast aftur og aftur á námsferlinum en þyngjast eftir því sem lengra dregur í náminu. Önnur dæmi gefa sýnishorn af ítarefni til að mæta þeim hugmyndum að námsefninu verði skipt í kjarnaefni sem allir nemendur eiga að tileinka sér og ítarefni sem unnt er að sníða að þörfum hvers og eins. Valin hafa verið verkefni sem gætu stuðlað að því að nemandinn sæi viðfangsefnin í nýju ljósi og gætu dýpkað og aukið skilning hans. Mörg þeirra falla undir lausnir verkefna og þrauta og gætu hentað sem athugunarverkefni fyrir einstaklinga eða litla hópa.
 
 

Nám og kennsla

Kennsla og nám í stærðfræði er fléttað úr mörgum þáttum. Mikilvægt er að nemendur geti lesið stærðfræðitexta við sitt hæfi og tjáð sig á skiljanlegu máli við aðra um aðferðir sínar og lausnir á stærðfræðiverkefnum, bæði í töluðu máli og rituðu. Skilningur nemenda á stærðfræðilegum hugtökum og aðferðum eflist við það að lesa, tjá sig og skiptast á skoðunum við aðra. Gott vald nemenda á reiknitækjum, s.s. tölvum og reiknivélum, hjálpar þeim einnig að dýpka skilning sinn og kynnast fjölbreyttari viðfangsefnum stærðfræðinnar. Kennsla í stærðfræði þarf að efla rökfasta hugsun en hún þarf einnig að efla hugkvæmni. Hún þarf að laða fram gagnrýna og greinandi hugsun hjá nemandanum en einnig sjálfstraust, forvitni og löngun til að rannsaka og leita lausna á hinu óþekkta.

Stærðfræðikennsla í skólum á að endurspegla hinar fjölbreyttu ásýndir stærðfræðinnar. Hún er vísindi, list, tjáningarmiðill og tæki til að takast á við erfið úrlausnarefni og hlutverk skólans er að sjá til þess að nemendur kynnist sem flestum hliðum hennar.

Með kennslu í stærðfræði í skólum er stefnt að því að nemendur

Til að svo geti orðið þurfa nemendur að

Kennsluhættir

Gera skal ráð fyrir fjölbreyttum kennsluháttum. Hluti kennslunnar fer fram sameiginlega í bekknum með innlögn og samantekt. Innlögn ætti að fara fram í stuttum lotum. Nemendur ættu jafnframt að fá nægan tíma til úrvinnslu, vinna með hugtökin við lausn verkefna, einir og með öðrum, og kynnast þeim frá ýmsum sjónarhornum. Þegar unnið er með ný hugtök ætti nemandinn að fá tækifæri til að beita þeim í glímu við verkefni sem hann getur sökkt sér niður í. Gæta þarf þess að gefa nægilegt svigrúm fyrir samantekt og sameiginlegar umræður þar sem saman koma hugmyndir frá einstaklingum og smærri hópum. Þar fær kennarinn tækifæri til að draga fram fjölbreytileg sjónarmið og beina athygli nemenda að mikilvægum hugtökum og röksemdum.

Jafnframt skal gera ráð fyrir að verulegur hluti námsins fari fram í samvinnu nemenda í litlum hópum. Þeir vinni saman að athugunum, rannsóknum og mælingum til að afla upplýsinga og vinna úr. Þeir læri að skipta með sér verkum, miðla eigin hugmyndum, vinna með hugmyndir annarra, kveikja þær hjá öðrum og fága sameiginlegar hugmyndir.

Að flétta námið inn í leik er gagnleg kennsluaðferð í stærðfræði. Röksemdafærslur má þjálfa með leikjum þar sem beita þarf rökhugsun. Skilning á líkindahugtakinu má einnig efla með leikjum þar sem beita þarf þekkingu á líkum. Enn fremur er nám með hjálp leiks líklegt til að skapa jákvæð viðhorf til stærðfræðinnar.

Áhersla sé lögð á hugarreikning og tækni við hann og hugarreikningur sé nýttur til að þjálfa leikni í námundun.
 
 

Kennslugögn

Nemendur fái í ríkum mæli að iðka hlutbundna vinnu til að styrkja myndun hugtaka. Þeir vinni með hversdagslega hluti, peninga, teninga, kúlur, talnagrindur, sætisgildiskubba, mælitæki, s.s. málbönd, hitamæla og vogir, rúmfræðilíkön o.s.frv. Nemendur ættu líka að temja sér að gera skýringarmyndir og skipulega minnispunkta til að gera sér stærðfræðileg hugtök skiljanlegri. Þegar náminu vindur fram þurfa nemendur að losna smám saman frá hlutbundnu vinnunni, þó þannig að gripið sé til hluta og mynda ef með þarf til að skýra ný hugtök og hugmyndir eða til upprifjunar.

Leggja ætti áherslu á myndræna framsetningu með því að nota teikningar, myndbönd, grafískar reiknivélar og tölvuforrit til að skýra stærðfræðileg hugtök og auðvelda nemendum að tjá sig á myndrænan hátt.

Tölvur og reiknivélar verði virk hjálpartæki í kennslunni. Nota má tilbúin forrit til að varpa nýju ljósi á og þróa nýjar leiðir að stærðfræðilegu innihaldi. Huga verður að því að námsefninu sé þannig hagað að nemendum sé ávinningur í að nota reiknivélar og tilbúinn hugbúnað til að auka skilning og fjölbreytni. Tæknin sparar nemendum tíma, auðveldar þeim vinnuna og gefur kost á meiri nákvæmni en ella. Þá þarf einnig að gæta þess að lögð sé rækt við leikni í algebruaðgerðum og getu til að meta og áætla og tæknibúnaðurinn sé nýttur til að styrkja kennslu í þeim þáttum.

Notuð séu tæki sem stýra má með runu af fyrirmælum eða skipunum, þ.e. einföld forritanleg tæki, leikföng og tölvuforrit þar sem nemendur geta fylgst með afleiðingum fyrirmæla sinna á myndrænan hátt.
 

Leiðir til að mæta mismunandi þörfum ólíkra nemenda
Hið almenna námsefni, sem lýst er í áfangamarkmiðum 4., 7. og 10. bekkjar, getur boðið upp á fjölbreytta útfærslu. Eðlilegt er að allir kynnist grunnhugtökum og aðferðum en síðan fylgi úrvinnsla sem að hluta til er sameiginleg en má samt laga að ólíkum hópum.

Helstu leiðir til að mæta þörfum ólíkra nemenda eru að velja viðfangsefni sem

Lausnaleitar- og athugunarverkefni er hægt að laga að hverjum og einum þannig að allir geti lagt eitthvað af mörkum. Allir geta t.d. tekið þátt í umræðum um hvað þarf að gera eða hvernig á að kynna verkefnið. Þegar kemur að vinnslunni má brjóta verkefnið niður í smærri þætti sem eru miserfiðir og hægt að úthluta eftir getu. Nemendur, sem eiga hægara með stærðfræði, eru hvattir til að reyna að draga fram almennar reglur á meðan aðrir fást við einstök tilvik.

Þegar æfð eru þekkingaratriði eins og hugtök og aðferðir geta verkefni úr daglegu lífi, hermileikir ýmiss konar og notkun tölva og vasareikna verið gagnleg hjálp til að auka innsýn og skilning á tilgangi þess sem verið er að æfa auk þess að stuðla að jákvæðum viðhorfum til námsins.

Ánægja af því að iðka stærðfræði ætti ekki að vera bundin við þá eingöngu sem eiga auðvelt með nám. Hægt er að örva alla til að finna til gleði yfir stærðfræðilegum viðfangsefnum. Leikir, gátur, þrautir, byggingarleikir, tölvuhugbúnaður og reiknivélar geta verið uppsprettur spennandi og ögrandi viðfangsefna.
 

Stærðfræði í daglegu lífi og samþætting við aðrar námsgreinar

Leggja þarf alúð við að finna verkefni úr daglegu lífi, öðrum námsgreinum á sviði raunvísinda og hugvísinda, myndlist, tónlist og byggingarlist, innlendu og alþjóðlegu samfélagi, náttúru og umhverfi. Þessi verkefni ættu að vera fræðandi um viðkomandi svið og verða jafnframt til þess að varpa ljósi á hlutverk stærðfræðinnar við að skýra og stuðla að lausn margvíslegra vandamála. Verkefnin ættu ekki eingöngu að tengja stærðfræðina við þann veruleika sem nemendur búa við heldur einnig að víkka sjóndeildarhring þeirra. Forðast verður eindregið að efni sé haft til nokkurs konar uppfyllingar en verði á hinn bóginn eðlilegur og fræðandi hluti námsefnisins.
 

Stærðfræðin sem fræðigrein

Texti í kennslubókum og öðrum námsgögnum þarf að veita sýn á eðli stærðfræðinnar, sögu hennar, margþætt menningartengsl og tilvist hennar sem lifandi og vaxandi fræðigreinar. Eðlisþættir stærðfræðinnar: að veita vitsmunalega ögrun og að leysa viðfangsefni samfélagsins eiga að koma skýrt fram í efninu. Það er ekki of snemmt fyrir nemendur á unglingastigi að kynnast hlutverki stærðfræðinnar, hvað það er að vera stærðfræðingur eða fást við stærðfræði. Þessa hluti þarf að reyna að skýra með því að draga fram dæmi um viðfangsefni nútímastærðfræðinga. Slíkt efni er hægt að setja fram sem fróðleikspistla þar sem gefin er innsýn í viðfangsefnin án þess að nauðsynlegt sé að tengja það við daglegar æfingar nemenda eða verkefni. Efni af því tagi getur einnig stuðlað að því að skapa tengsl milli þess sem virðast vera óskyld efni innan stærðfræðinnar. Námsefnið má ekki vera eins konar safn þátta sem eru lauslega tengdir án heildarsýnar.
 
 

Námsmat

Námsmat í stærðfræði skal byggt á þeim kröfum sem gerðar eru í markmiðum aðalnámskrárinnar í stærðfræði, sér í lagi í áfangamarkmiðum við lok 4., 7. og 10. bekkjar. Markmiðin greinast í tvennt, um aðferðir og inntak auk þess sem eitt af stefnumiðum kennslunnar er að nemandinn öðlist jákvætt viðhorf til stærðfræði. Tilgangur matsins er að fylgjast með hversu vel nemandanum gengur að ná þessum markmiðum. Hér á eftir verður gerð grein fyrir meginsjónarmiðum sem hafa ber í huga við námsmat í stærðfræði, helstu matsaðferðum og hvernig þær hæfa ólíkum markmiðum.
 

Meginsjónarmið

Nemandinn njóti sín sem best. Áhersla sé lögð á að fram komi hvað hann getur, síður hvað hann getur ekki. Matsverkefnum þarf að reyna að haga þannig að fram komi hvað fyrir nemendum vakir með svörum þeirra.

Nemendum séu ljósar forsendur mats. Skilgreina þarf námsmarkmið og vægi námsþátta í upphafi námstímabils svo að nemendum sé vel ljóst að hverju beri að stefna, hvað eigi að mæla og hvernig verði metið.

Fjölbreytni sé í vali efnisþátta. Gæta þarf þess að prófa úr sem flestum efnisþáttum sem til meðferðar eru hverju sinni. Sérstaklega þarf að gæta að því að einstakir efnisþættir fái ekki óeðlilega mikið vægi eða séu margmetnir.

Verkefni höfði til sem flestra matsþátta. Matsverkefni þurfa að vera nægilega fjölbreytt til að prófa sem flesta þætti í hæfni nemandans, s.s. kunnáttu, færni, skilning, getu til að greina og tengja ólíka þætti, frumleika, frumkvæði, vinnubrögð og þrautseigju.

Námsmat taki til allra markmiða. Jafnframt því að prófa þekkingu í inntaksþáttum þarf að taka aðferðaþætti til mats: tjáningarhæfni nemandans um stærðfræðileg efni, meðferð tungumáls og táknmáls, hæfni til að leysa verkefni og þrautir, vald hans á röksemdafærslu og getu til að yfirfæra stærðfræði á önnur svið.

Stærðfræði sé sem mest prófuð í eðlilegu samhengi, síður sem sundurlaus þekkingaratriði. Eigi nemandinn við lestrarörðugleika að stríða mætti leggja verkefnin munnlega fyrir hann.

Fjölbreytni í formi. Form verkefna þarf að vera fjölbreytt og í samræmi við kennslutilhögun. Þannig séu metin munnleg verkefni, verkleg og skrifleg, stuttar afmarkaðar æfingar og dýpri athuganir, einstaklingsverkefni og hópverkefni, verkefni sem unnin eru á afmörkuðum tíma og óafmörkuðum. Mappa eða vinnubók, þar sem nemandi safnar saman verkefnum og úrlausnum, getur hentað vel til að fá yfirsýn yfir það hversu vel nemandinn hefur unnið.
 

Matsaðferðir

Hér að framan hafa verið talin mismunandi matsform sem beita má til að meta hversu vel hinum ólíku markmiðum hefur verið náð. Enn fremur getur skipulagt mat nemanda á eigin verkefnum og félaga sinna stuðlað að dýpri skilningi hans á þeim markmiðum sem hann er að leitast við að ná og getur auk þess haft í för með sér raunsætt sjálfsmat.

Hinum mismunandi námsmarkmiðum, sem sett eru fram í námskránni, hæfa ólík matsform og aðferðir:

Hér á eftir fer listi með sýnishornum af því hvaða aðferðir við námsmat í stærðfræði gætu hentað í mismunandi tilgangi.
Tilgangur Til upplýsinga fyrir Aðferðir
Greina vanda einstakra nemenda Kennara, foreldra, nemanda Stutt könnunarpróf, athugun með gátlista, munnlegar spurningar
Veita upplýsingar um árangur kennslu Kennara, skóla, nemanda Heimaverkefni, heimtökupróf, stuttar æfingar og yfirlitspróf með stiggreindum verkefnum, skriflegar og munnlegar greinargerðir, hópverkefni
Meta stöðu miðað við næsta námsstig Kennara, nemanda, foreldra, skóla Stöðluð próf, ritgerðir, athugunarverkefni, munnlegar kynningar (fyrirlestrar) og munnleg próf
Prófa námsefni eða kennsluhætti Kennara, skóla, yfirvöld Viðtöl við nemendur, stöðluð próf, athugun á áframhaldandi gengi nemenda

[Til baka]


EAN 1999