Fyrri síða 
Yfirlit
Næsta síða
1. Nokkur meginsjónarmið sem gæta þarf að þegar sett eru markmið stærðfræðikennslu 

Til hvers á að kenna stærðfræði í skólum? Við leitumst við að svara spurningunni með því að setja fram átta fullyrðingar sem við ræðum síðan nánar og rökstyðjum hverja fyrir sig. Með því móti teljum við okkur jafnframt rökstyðja þörf og tilgang stærðfræðinnar sem námssviðs, og jafnframt gefst tækifæri til að rökstyðja tilgang ýmissa sérstakra undirgreina stærðfræðinnar í náminu.
 

1.1. Leitast þarf við að veita öllum nemendum næga undirstöðukunnáttu til að þeir geti af öryggi tekist á við stærðfræðileg verkefni sem koma upp í daglegu lífi.

Eitt af fáum markmiðum með stærðfræðikennslu sem flestir virðast vera sammála um er að nemendur eigi að læra þá stærðfræði sem á þarf að halda í daglegu lífi. En hver er sú stærðfræði? Atli Harðarson er einn af þeim sem hefur reynt að gefa svar við þessari spurningu:  

Sú stærðfræði sem þorri fólks þarf að nota í daglegu lífi er ósköp lítil. Menn þurfa að kunna reikniaðgerðirnar fjórar, ráða við hlutfalla- og prósentureikning, þekkja metrakerfið, kunna einfaldan flatarmáls- og rúmmálsreikning og hafa einhverja nasasjón af lýsandi tölfræði. Allur þorri fólks þarf á þessari stærðfræði að halda en kemst ágætlega af án þess að kunna neitt meira. Fleiri hafa reynt að svara spurningunni. Í hinni merku skýrslu [Coc1982] er á bls. 5–11 að finna kafla sem ber fyrirsögnina „The mathematical needs of adult life". Einnig þar er því haldið fram að hversdagsleg þörf fyrir stærðfræði sé afskaplega lítilfjörleg og jafnvel ennþá minni en Atli gerir ráð fyrir: Hver er þá þörfin fyrir stærðfræði í lífi fullorðins fólks? Til að byrja með er ljóst að varla er nokkur sá hluti stærðfræðinnar sem allir nota. Til dæmis þurfa þeir sem ferðast ekki með strætisvögnum eða lestum sennilega ekki að nota tímaáætlanir; þeir sem aka ekki bíl þurfa ekki að kaupa bensín; þeir sem matast ekki á hótelum eða veitingahúsum þurfa ekki að geta reiknað út þjónustugjald. Athugunin sýnir að sumt fólk virðist næstum enga stærðfræði nota, vegna þess að það hefur skipulagt líf sitt til að komast hjá að nota hana eða með því að notfæra sér stærðfræðikunnáttu annarra. Á hinn bóginn eru þeir mjög fáir sem þurfa ekki einhverntíma að lesa tölur, telja, þekkja á klukku eða kaupa ofurlítið inn. Þetta er kannski stysti hugsanlegi listinn, en ljóst er að margir þeirra sem búa einungis yfir þessari minnstu stærðfræðikunnáttu og líka nokkrir sem hafa náð töluvert lengra finna oft fyrir streitu, vanmætti og úrræðaleysi, jafnvel þótt þeir hafi fundið aðferðir til að sinna daglegum þörfum sínum.

Því viljum við telja til þeirrar stærðfræði sem þarf að nota í daglegu lífi fullorðins fólks, þótt við gerum okkur grein fyrir að til eru þeir sem ná ekki valdi á þessu öllu, hæfileikann til að lesa tölur og telja, þekkja á klukku, greiða fyrir keyptan varning og gefa til baka, vega og mæla, skilja greinilegar tímaáætlanir og einföld línurit og skýringarmyndir, og framkvæma nauðsynlega reikninga sem þessu tengjast. […]

Við álítum einnig að sem nauðsynlega viðbót við þennan lista sé mikilvægt að hafa þá tilfinningu fyrir tölum sem leyfir skynsamlegt mat og nálgun — til dæmis af því tagi að gera sér grein fyrir að verð þriggja hluta sem kosta 95 pence hver verði tæplega 3 pund — og gerir kleift að framkvæma einfaldan hugareikning.

Mikilvægust alls er þörfin á að hafa nægilegt sjálfstraust til að nota til fulls alla þá kunnáttu og skilning á stærðfræði sem er fyrir hendi, hvort sem þau eru lítil eða mikil.
 

Þessi tiltölulega nýlegu dæmi um tilraunir til að ákvarða hvaða stærðfræði er nauðsynleg fyrir daglegar þarfir eiga sér eldri hliðstæður. Það er til dæmis lærdómsríkt að lesa um athugun sem Guy M. Wilson birti á árunum 1917 og 1919 og átti að sýna með því að athuga 14 583 raunveruleg dæmi um notkun reiknings úr daglega lífinu hve fábreytt sú stærðfræði er sem er notuð í raun og veru; Wilson (líkt og Atli Harðarson í tilvitnuninni í grein hans í innganginum hér á undan) taldi það vera „vafasamt hvort reikningur á tilkall til þeirrar miklu tímanotkunar sem honum er núna úthlutuð í grunnskólum."

Það er vissulega hárrétt sem segir í síðustu tilvitnun, að erfitt er að benda á nokkur tiltekin þekkingaratriði í stærðfræði sem eru alveg bráðnauðsynleg í daglegu lífi. Flestir geta með góðum vilja komið sér hjá að kunna hið minnsta fyrir sér í stærðfræði: Við þurfum ekki að geta lagt saman verð þess sem við kaupum inn; það gera sjálfvirkar kassavélar. Bankar reikna fyrir okkur vexti, það má fá einhvern til að gera fyrir okkur skattskýrsluna, og flatarmálið á húsnæðinu sem við búum í eða viljum kaupa hefur þegar verið reiknað út. En það er nauðsynlegt að gera sér grein fyrir að þetta á ekki einungis við um stærðfræði, heldur nokkurn veginn hvaða tiltekin kunnáttu- eða þekkingaratriði sem vera skal; það er jafnvel unnt að komast hjá því að kunna að lesa, þótt það hafi kannski ýmis óþægindi í för með sér. Þessi rök sýna nefnilega einungis að spurt hefur verið rangrar spurningar. Í stað þess að spyrja hvaða stærðfræði þarf á að halda ætti að spyrja hvaða stærðfræðikunnátta kemur sér vel eða er afar æskileg. Hvert svarið við þeirri spurningu á að vera er að sjálfsögðu nokkuð matsatriði, en augljóslega hlýtur svarið að vera víðtækara en þegar einungis er miðað við brýnustu nauðsyn.

Meðal þeirrar stærðfræðikunnáttu sem er æskileg í daglegu lífi má eflaust telja allt það sem hér hefur verið nefnt, til dæmis í upptalningu Atla Harðarsonar, nefnilega „að kunna reikniaðgerðirnar fjórar, ráða við hlutfalla- og prósentureikning, þekkja metrakerfið, kunna einfaldan flatarmáls- og rúmmálsreikning og hafa einhverja nasasjón af lýsandi tölfræði", og einhverju þarf kannski að bæta við þennan lista. En við viljum vekja athygli á að slík upptalning á efnisatriðum er alls ekki nægjanleg. Hvað þýðir það til dæmis að „kunna reikniaðgerðirnar fjórar"? Við ætlum að leyfa okkur að ræða þá spurningu nokkru nánar:

Varla er efamál að undirstaða allrar stærðfræðikunnáttu er skilningur á tölum og talnareikningi ásamt færni í notkun talna. Sér í lagi hljótum við að gera ráð fyrir að við lok grunnskóla eigi nemendur að hafa öðlast dágóðan skilning á ræðum tölum og reikningi með þeim. Það felur í sér þekkingu á fjölmörgum efnisatriðum. Þeirra á meðal eru þessi:  

1. Náttúrlegar tölur og notkun þeirra við talningu.

2. Heilar tölur.

3. Ræðar tölur og framsetning þeirra; almenn brot og tugabrot.

4. Samanburður talna: Stærð og röðun.

5. Reikniaðgerðirnar samlagning, margföldun, frádráttur og deiling.

6. Einfaldur reikningur með veldum.

7. Talnaritháttur: Að breyta tugabrotum í almenn brot og öfugt (þegar við á). Tugveldaritháttur.

8. Hlutfallareikningur, þar með talinn einfaldur prósentureikningur.

Slík upptalning efnisatriða segir þó ekki hálfa söguna. Við viljum leggja áherslu á að það er skilningur á þessum hugtökum sem mestu máli skiptir. Nákvæmlega hvað það þýðir að skilja stærðfræðihugtak væri efni í langa heimspekilega umræðu, og niðurstöður hennar geta verið mikilvægar fyrir hugmyndir okkar um hvernig kenna skuli stærðfræði. Við höfum þó ekki tök á að drepa á nema nokkur þeirra atriða sem við teljum mikilvægust, og það gerum við á nokkrum stöðum í þessari skýrslu. Hér viljum við fyrst benda á að skilningur á hugtaki felist meðal annars í að setja það í sem víðtækast samhengi við alla aðra tiltæka kunnáttu þess sem reynir að skilja. Af þessari skoðun leiðir meðal annars að „fullkomnum skilningi" verður aldrei náð, heldur eykst skilningur hugtaks sífellt eftir því sem tengsl þess við fleiri og fleiri hluti verða ljósari (og minnkar þá auðvitað líka eftir því sem fleiri slík tengsl gleymast). Hversu glæsilegum árangri sem nýútskrifaður nemandi úr grunnskóla hefur náð í stærðfræði hlýtur skilningur hans á jafnvel einföldustu hugtökum úr reikningi, svo sem náttúrlegum tölum og talningu, að vera allt annar en fullmenntaðs stærðfræðings.

Víðtækur skilningur á samlagningu og margföldun er mikilvægari en færni í að leggja saman og margfalda. Með þessari fullyrðingu erum við ekki að setja skilning og færni upp sem andstæður. Færni í samlagningu og margföldun er líka hluti af skilningi á þessum reikniaðgerðum, og það má efast um að nokkur geti öðlast sæmilegan skilning á þeim án þess að geta lagt saman og margfaldað af talsverðu öryggi. En það má þó að minnsta kosti vel hugsa sér að því megi halda fram að nú á dögum, þegar mjög öflugar reiknivélar eru orðnar bæði ódýrar og útbreiddar, hafi færni í að framkvæma reikniaðgerðir, svo sem samlagningu og margföldun, misst talsvert af notagildi sínu, nema að því leyti sem slík færni leiðir til aukins skilnings. Til dæmis má gera ráð fyrir að mikilvægara sé að vita hvenær á að leggja saman eða margfalda en hvernig á að leggja saman eða margfalda. Auðvitað ætti helst hvorki að vefjast fyrir neinum að leggja saman 11 og 12 né að margfalda saman 11 og 12 án þess að hafa reiknivél. En þótt slíkt gerist þarf það ekki nauðsynlega að vera alvarlegt mál ef viðkomandi hefur reiknivél og kann að nota hana. Miklu mikilvægara er að skilja að þegar Pétur á 11 epli og eignast 12 epli í viðbót, þá fæst fjöldi eplanna sem Pétur á með því að leggja saman 11 og 12 (en ekki til dæmis með því að margfalda saman 11 og 12), og að þegar Pétur kaupir 11 epli á 12 krónur stykkið, þá fáum við heildarkrónufjöldann sem Pétur þarf að borga fyrir eplin með því margfalda saman 11 og 12 (en ekki til dæmis með því að leggja saman 11 og 12).

Við viljum því leggja sérstaka áherslu á að notkum reiknivélar minnkar alls ekki þörfina á skilningi þess sem hana notar á þeim reikniaðgerðunum sem slík vél getur framkvæmt. Til að geta notað reiknivél til að leggja saman er ekki nóg að kunna á viðkomandi takka á vélinni, heldur þarf einnig að vita hvað samlagning er og hvenær á að nota hana. Sá sem er óöruggur í hefðbundnum reikningi er einatt einnig óöruggur í meðferð reiknivéla, því að skýringin á óöryggi hans er oft skortur á undistöðuskilningi fremur en skortur á reiknitækni.

Sá sem vill helst ekki reikna nema með reiknivél þarf samt sem áður að kunna töluvert fyrir sér í hefðbundnum reikningi, og þá sér í lagi hugareikningi. Fátt er auðveldara en að gera einhver mistök þegar reiknivél er notuð, og því er mikilvægt að geta gert sér einhverja grein fyrir því hvers konar útkomu má búast við. Ef einhver ætlar að leggja saman þrjár tveggja stafa tölur í reiknivél, og útkoman sem hann fær reynist vera fjögurra stafa tala, þá á hann að geta séð í hendi sér að einhver mistök hafa verið gerð. Það er mikilvægt að kunna dálítið fyrir sér í námundareikningi og geta til dæmis séð í hendi sér að margfeldi tölu sem er rétt rúmlega 100 og tölu sem er rétt tæplega 1000 getur ekki verið alltof langt frá 100000. En til að kunna hugareikning þarf líka að kunna eitthvað í hefðbundnum reikningi með blaði og blýanti. Niðurstaðan verður þá kannski sú að eina kunnáttan sem reiknivélar gera úrelta sé færni í að reikna mjög flókin reikningsdæmi með mörgum eða stórum tölum.

Á móti kemur ný þörf: Það þarf að kenna nemendum að nota reiknivélarnar. Það er ekki aðeins nauðsynlegt að nemendur læri að ýta á rétta takka á vélinni, heldur þurfa þeir að vita hvenær þeir geta notfært sér vélarnar og til hvers. Auk þess ætti ekki að gleymast að reiknivélar geta komið að gagni við að kenna reikning; til dæmis með þeim einfalda hætti að gera nemanda kleift að ganga þegar í stað úr skugga um hvort hann hefur reiknað rétt.

Til að ná færni í að framkvæma „reikniaðgerðirnar fjórar", með öðrum orðum einfaldlega að leggja saman einhverjar tilteknar tölur, draga frá, margfalda eða deila, þarf að leggja á sig talsverðan utanbókarlærdóm. Það er til dæmis vafasamt að nokkur geti náð sæmilegri færni í samlagningu og margföldun án þess að kunna utanað „samlagningartöflu" og „margföldunartöflu" fyrir eins stafs tölur; hann þarf helst að vita að 4 + 7 = 11 og að 4 · 7 = 28. (Þótt kannski sé ekki venja að láta nemendur „læra samlagningartöflu utanað" virðist ljóst að æfing í einföldum samlagningardæmum hefur það meðal annars að markmiði að nemendur læri smátt og smátt hver er summa hvaða tveggja eins stafs talna sem er.) Það er hins vegar mikilvægt að slíkur utanbókarlærdómur haldist í hendur við skilning á þeim staðreyndum sem þannig eru lærðar. Til dæmis ætti nemandi að geta fundið af sjálfsdáðum summuna 4 + 7 og margfeldið 4 · 7, og helst með sem margvíslegustum hætti. Hann ætti til dæmis að geta fundið summuna með því að skrifa 4 strik á blað og önnur 7 strik að auki og telja hvað strikin eru mörg. En hann ætti líka að skilja eiginleika samlagningar nægilega vel til að finna svarið með röksemdafærslu eitthvað á borð við þessa: „Töluna 7 vantar 3 upp á að vera 10; tek þessa 3 af 4 og eftir er 1; svarið er því 1 + 10 = 11." Þótt þessi röksemdafærsla byggist í raun á tengireglunni fyrir samlagningu [því að hana má í stórum dráttum rita 4 + 7 = (1 + 3) + 7 = 1 + (3 + 7) = 1 + 10 = 11] þá ætti ekkert að vera fyrir því til fyrirstöðu að nemandi geti hugsað eitthvað á þessa leið þótt hann hafi aldrei heyrt á tengiregluna minnst. Tengireglan fyrir samlagningu er staðreynd sem nemendur ættu að hafa fengið á tilfinninguna með einhverjum hætti löngu áður en þeir hafa nokkurn þroska til að skilja hana sem reglu, hvað þá sem algebrulega reglu. Sama er að segja um víxlreglu: Ef nemandi hefur með einhverjum hætti komist að því að 4 + 7 = 11, þá ætti hann samstundis að átta sig á að það hefur í för með sér að 7 + 4 = 11, jafnvel þótt hann hafi kannski aldrei heyrt á víxlregluna minnst. Hvort tveggja er hluti (og raunar aðeins lítill hluti) þess að skilja samlagningu.

Tökum þó eftir að slíkar reglur koma ekki að neinum notum nema þeim sé beitt á einhverja fyrri þekkingu. Röksemdafærslan í dæminu byggist á því að nemandi viti að 3 + 7 = 10 og kunni að leggja eins stafs tölu við tölu sem endar á núlli. Auk þess verður ekki lögð næg áhersla á þá staðreynd að næg kunnátta til að geta reiknað út allar summur í „samlagningartöflu" og öll margfeldi í „margföldunartöflu" kemur alls ekki í staðinn fyrir að kunna töflurnar. Það er augljós kostur að vita að 7 · 8 = 56 í stað þess að þurfa að reikna margfeldið út með ad hoc aðferðum í hvert sinn sem á því þarf að halda. En það er líka nauðsynlegt að hafa næga kunnáttu til að geta leiðrétt sig ef vitlaust er munað eða fyllt upp í hugsanlegar minniseyður. Skilningur og kunnátta þurfa ætíð að haldast í hendur, og skilningur hlýtur ávallt að byggjast á einhverri kunnáttu: Enginn getur skilið það sem hann veit ekki.

Um þetta efni mætti ótalmargt fleira segja, en tilgangur okkar er einungis að reyna að gefa til kynna eftirfarandi mikilvæga staðreynd: „Að kunna reikniaðgerðirnar fjórar" er miklu margbrotnara ferli en að fá alltaf rétta útkomu úr samlagningar-, frádráttar-, margföldunar- og deilingardæmum. Það má raunar kveða miklu fastar að orði: Sá sem kann ekkert annað fyrir sér í reikningi en að fá rétta útkomu úr „uppsettum" reikningsdæmum er fullkomlega bjargarlaus í stærðfræði, því að sú kunnátta ein sér er einskis virði utan skólastofunnar.

Þótt nemendur hafi náð tiltölulega góðu valdi á reikningi þýðir það ekki að þeir hafi lært að notfæra sér þessa kunnáttu í daglegu lífi. Því er gífurlega mikilvægt að nemendur sé stöðugt æfðir í að setja stærðfræðikunnáttu sína í samband við hluti og hugtök úr daglegu lífi eftir því sem nokkur kostur er.
 

1.2. Búa þarf nemendur undir að nota stærðfræði við margvísleg störf í þjóðfélaginu, bæði á næstu árum og í fjarlægari framtíð.

Í skýrslu nefndar til að rannsaka stærðfræðikennslu í Englandi og Wales, [Coc1982] frá 1982, sem var undanfari gagngerðrar endurskoðunar á stærðfræðikennslu í þeim löndum, segir að ein meginástæða könnunarinnar sem hún er afrakstur af hafi verið kvartanir frá vinnuveitendum um skort á stærðfræðikunnáttu fólks sem fer út í atvinnulífið að nýloknu skyldunámi. Niðurstaða nefndarinnar var þó sú að óánægja vinnuveitenda hefði verið stórlega ýkt, og hennar hafi fyrst og fremst orðið vart í verslunar- og tæknigreinum.

Ef við reynum að setja fram með okkar eigin orðalagi og í örstuttu máli það sem við álítum vera mikilvægustu niðurstöðuna um þetta mál sem má lesa út úr skýrslu bresku nefndarinnar, þá er hún þessi: Fólk sem fer beint af skólabekk að loknu skyldunámi þarfnast oft nokkurs tíma og jafnvel sérstakrar þjálfunar til að komast upp á lag með að nota þá stærðfræði sem það hefur lært við þau verkefni í starfi sínu sem á annað borð krefjast einhverrar stærðfræðikunnáttu. Á hinn bóginn eru slík verkefni einatt meira og minna stöðluð og endurtekin aftur og aftur, og venjulega lærast þau tiltölulega fljótt nægilega vel til þess að fólk þarf ekki lengur að hafa bein óþægindi af skorti á stærðfræðiþekkingu í starfi sínu. Það er afar sjaldgæft í þeim störfum sem krefjast ekki sérstakrar framhaldsmenntunar að fólk þurfi á annarri stærðfræði að halda en þeirri sem kennd er í grunnskólum, en einatt er hún notuð í nýstárlegu samhengi sem fólk hefur ekki kynnst í skóla. Kannanir sem breska nefndin vitnar í gefa einnig til kynna að fólk notar ekki nauðsynlega einföldustu aðferðir, sem það hefði átt að læra í skóla, til að leysa stærðfræðileg verkefni sem koma upp á vinnustöðum, heldur býr það sér einatt til nýjar aðferðir eftir hentugleikum.

Það er einnig rétt að benda á að það þarf ekki að vera sök skólanna einna þótt fólk eigi í einhverjum erfiðleikum með stærðfræðikunnáttu sína framanaf í starfi. Það þýðir ekki nauðsynlega að fólk hafi aldrei lært þá stærðfræði sem það þarf að nota, heldur er líklegt að í mörgum tilfellum hafi það einfaldlega gleymt henni aftur. Allir ryðga óhjákvæmlega í stærðfræðikunnáttu sinni ef þeir halda henni ekki stöðugt við; svo að vitnað sé í [Per1986]:  

Það er staðreynd sem kennarar ættu að gera sér grein fyrir að stærðfræði sem hefur ekki verið notuð um nokkurt skeið kemur ekki þegar í stað upp í hugann; það þarf að ýta við minninu. Sú „endurhæfingarkennsla" sem atvinnurekendur halda fram að geri ungt fólk hæft til vinnu er oft sá nauðsynlegi upprifjunartími. Að unnt er að ná árangri á tiltölulega skömmum tíma ætti að benda til að tekist hefur að leggja undirstöðuna sæmilega vel í skólanum. Sem betur fer er það í flestum tilfellum svo að þá stærðfræði sem hefur á annað borð verið lærð sæmilega vel er tiltölulega auðvelt að rifja upp aftur, þótt hún sé ekki þegar í stað tiltæk minninu. Þetta á sér eflaust að hluta til skýringu í því að stærðfræðikunnátta felst að miklu leyti í áunninni færni en ekki einungis í þekkingaratriðum.

Þótt okkur sé ekki kunnugt um athuganir hér á landi sem eru alveg hliðstæðar hinni bresku sem við vitnuðum til er lítil ástæða til að efast um að hér sé málum svipað farið. Ef svo er, þá ætti ekki að vera algengt að fólk finni tilfinnanlega fyrir skorti á stærðfræðiþekkingu í venjulegum störfum. Þetta þarf að vísu ekki að koma á óvart, en varast ætti að draga af því rangar ályktanir. Sér í lagi er ekki leyfilegt að draga þá ályktun að engra breytinga sé þörf á stærðfræðikennslu á skólaskyldualdri.

Hvað grunnskóla varðar er erfitt að benda á nokkur tiltekin þekkingaratriði í stærðfræði sem á þarf að halda í flestum venjulegum störfum og ekki eru tilgreind í [Aða1989]. Ekki er allskostar auðvelt að lesa út úr skýrslunni [Coc1982] hvaða efnisatriði höfundar hennar telja nauðsynleg sem almennan undirbúning undir þátttöku í atvinnulífinu. En meðal þess efnis sem þeir nefna að nýtist í mörgum störfum er þetta:  

1. Almenn talnameðferð: Kunnátta í að lesa, túlka og skrá tölur.

2. Einfaldur reikningur, þar með talinn hugareikningur og kunnátta í notkun reiknivéla. Einnig er prósentureikninur víða mikilvægur. Skýrsluhöfundar telja að sérstaka áherslu beri að leggja á námundun og mat.

3. Talning og mælingar. Skýrsluhöfundar telja að skilningur á mælingum sé sú kunnátta sem langbest nýtist í flestum störfum.

4. Kunnátta í að setja tölur inn í formúlur; slíkar formúlur eru raunar einatt settar fram í orðum frekar en í algebrulegum rithætti.

Auk þess telja skýrsluhöfundarnir upp mörg fleiri efnisatriði, til dæmis þekkingu á flatarmáls- og rúmmálsreikningi, sem koma að gagni í ýmsum tilteknum störfum.

Um notkun stærðfræði í starfi gildir hins vegar sama og um notkun hennar í daglegu lífi: Kunnátta í tilteknum efnisatriðum er ekki nægjanleg, heldur þarf að leggja megináherslu á að fólk sé fært um að nýta þessa kunnáttu í sem víðustu samhengi. Aftur virðist reynslan sýna að slík færni komi ekki af sjálfu sér, heldur verði að kenna fólki að nota þekkingu sína á öðrum sviðum. Það er að sjálfsögðu ekki gerlegt að sýna grunnskólanemendum hvernig stærðfræðiþekking þeirra nýtist í öllum hugsanlegum störfum. Við teljum hins vegar afar æskilegt að nægilega mörg dæmi séu sýnd til að nemendur læri og skilji að nota má stærðfræði í afar margvíslegu samhengi. Hér reynir mjög á að annaðhvort séu til aðgengileg námsgögn sem sýna hvernig stærðfræði er notuð í raun og veru, eða þá að kennarar séu færir um að finna af eigin frumkvæði dæmi um slíka notkun og miðla henni til nemenda sinna. Eftirfarandi tilvitnun í [Coc1982] fjallar um þetta efni:  

Nokkrir staðbundnir hópar hafa sett sér að útbúa námsgögn sem byggjast á þeirri stærðfræði sem er notuð í ýmiskonar atvinnustarfsemi. Slík gögn eru venjulegast búin til vegna þess að kennari eða kennarar heimsækja fyrirtæki í nágrenni sínu til að skoða þá ólíku vinnu sem þar fer fram. Eftir heimsóknirnar hafa verið útbúin verkefnablöð sem eru byggð á þeim dæmum um stærðfræðinotkun sem skoðuð voru og útskýra aðstæðurnar þar sem hún fór fram. Best hefur heppnast að búa til slík gögn ef það er gert í samráði við starfsmann viðkomandi fyrirtækis, sem hefur þá stundum getað heimsótt skólann til að tala við nemendur eða sýna áhöld. Hins vegar benda þau gögn sem við höfum aðgang að til þess að þótt slíkt námsefni komi að talsverðu gagni bæði fyrir kennarann sem bjó það til og nemendur hans, þá megi ekki álykta að það gagnist auðveldlega öðrum kennurum, hvort sem er í sama skóla eða öðrum, ef þeir hafa ekki haft sömu beinu tengsl við viðeigandi fyrirtæki. Það er því nauðsynlegt að aðrir kennarar fái viðeigandi þjálfun á staðnum til að þeir geti notað námsefnið með árangri.

 

Ljóst má vera að samning námsgagna af því tagi sem hér er rætt um krefst bæði mikillar færni og verulegrar vinnu af kennurum, og varla er raunhæft að gera ráð fyrir að nægilega margir kennarar leggi út í slíkt verkefni til að það fullnægi þörf flestra hvað þá allra nemenda í skólakerfinu. Því hlýtur að verða að leggja áherslu á að notkun stærðfræði í störfum séu gerð einhver skil í útbreiddum kennslubókum.

Við viljum ennfremur leggja áherslu á að um notkun stærðfræði í ýmsum störfum gildir hið sama og um notkun hennar í daglegu lífi: Það er mjög vafasamt að miða stærðfræðikennslu einungis við brýnustu þörf í starfsgreinum eins og þær gerast á hverjum tíma, heldur þarf að miða við æskilega kunnáttu sem getur nýst fólki í mörgum störfum. Til þess liggja einkum þrjár ástæður:

1. Þótt segja megi að í einhverjum skilningi sé nægjanlegt að undirbúa fólk svo vel að það hafi aðeins þá minnstu kunnáttu sem dugar því til að inna tiltekið starf sitt skammlaust af hendi, þá væri greinilega æskilegra að starfsmaður byggi yfir kunnáttu sem gerir honum kleift að sýna frumkvæði í starfi.

2. Varla er nokkur leið að gera fullkomið yfirlit yfir þá stærðfræði sem notuð er í algengustu störfum nú, til þess eru störfin of fjölbreytt. Einnig verður að gera ráð fyrir að sú stærðfræði sem er notuð í algengustu störfum í dag eigi eftir að taka talsverðum breytingum í framtíðinni auk þess sem mörg ný og nýstárleg störf verði til eftir því sem þjóðfélagið breytist í framtíðinni; en þeir sem nú sitja í grunnskólum eiga eftir að taka þátt í atvinnulífinu marga næstu áratugi.

3. Margir stunda ekki sama starfið ævilangt, heldur skipta jafnvel um starf oft á lífsleiðinni. Líklegt virðist að ör framþróun í tækni verði til þess að það fólk sem nú er að alast upp þurfi að skipta um starf oftar en sú kynslóð sem er nú komin fram yfir miðjan aldur.
 

Þessar tvær ástæður eru ekki ótengdar: Þeir sem hafa nægilega kunnáttu til að sýna frumkvæði í starfi hafa einnig tilhneigingu til að breyta starfinu. Og einmitt þannig verða framfarir í þjóðfélaginu.

Notkun stærðfræði er að sjálfsögðu afar ólík í ólíkum starfsgreinum, en því má ekki heldur gleyma að innan hverrar starfsgreinar notar fólk stærðfræði misjafnlega mikið. Þetta þarf ekki einungis að felast í eðli starfsins, heldur er skýringarinnar einnig að leita í kunnáttu starfsmannsins. Sú staðreynd að stærðfræði sé ekki notuð í tilteknu starfi þýðir ekki nauðsynlega að engin þörf sé fyrir meiri stærðfræði. Þótt það kunni að vera auðvelt fyrir nýjan starfsmann í tiltekinni starfsgrein að læra að leysa af hendi auðveldustu verkefni í reikningi eða stærðfræði sem nægja honum til að inna starf sitt nokkurn veginn skammlaust af hendi er ekki þar með sagt að gæti ekki sinnt því ennþá betur ef hann kynni dálítið meira fyrir sér í stærðfræði. Gagnsemi stærðfræði (og raunar allra annarra þekkingarsviða) fyrir tiltekinn einstakling er mjög svo háð kunnáttu hans: Þá stærðfræði sem hann kann ekki getur hann ekki notað.

Það er ekki óalgengt að heyra fólk segja að það hafi aldrei þurft að nota neina þá stærðfræði sem það lærði í skóla. Slíkar yfirlýsingar eru þó marklausar nema einhverjar upplýsingar fylgi um nákvæmlega hvaða kunnátta það er sem fólk býr yfir og nýtist því ekki. Það skyldi þó ekki vera að í raun sé alls ekki átt við þá stærðfræði sem fólk lærði, heldur einungis við þá sem var reynt að kenna því? Þetta er ekki hótfyndni, heldur erum við að brydda upp á mikilvægu efni sem við ræðum frekar undir lið 1.3.

Þótt margt í ofangreindum hugleiðingum eigi við öll skólastig, þá höfum við fyrst og fremst haft í huga grunnskóla sem er ekki skipt í námsbrautir. Ljóst er að eftir því sem ofar dregur í skólakerfinu eykst sérhæfing hröðum skrefum og í framhaldsskólum þarf þegar að fara að huga að þeirri staðreynd að sú stærðfræði sem er æskilegt að kunna getur verið afar ólík eftir ólíkum starfssviðum.

Til þessa hefur skipulag stærðfræðikennslu í framhaldsskólum að okkar mati mótast um of af tveimur sjónarmiðum:  

1. Talið hefur verið æskilegt að mikill hluti stærðfræðikennslu sé sameiginlegur ólíkum námsbrautum, að minnsta kosti á fyrsta námsári, til að gera nemendum auðveldara fyrir að skipta milli brauta.

2. Hugmyndir um hagkvæmni í skólarekstri hafa ýtt undir þá tilhneigingu að láta nemendur af sem flestum námsbrautum taka sömu stærðfræðiáfanga, því að talið hefur verið dýrara að skipuleggja sérstök stærðfræðinámskeið fyrir hverja námsbraut.
 

Bæði þessi sjónarmið hafa svipuð áhrif, nefnilega þau að flestir framhaldsskólanemendur eru látnir byrja á sömu stærðfræðiáföngum. Þótt bæði sjónarmiðin séu að sumu leyti skiljanleg teljum við þó að þau séu engu að síður varhugaverð.

Hvað fyrra sjónarmiðið varðar, þá teljum við fullmikið hafa verið gert úr þeim vandkvæðum að skipta milli námsbrauta. Nemandi sem ákveður að skipta um námsbraut gerir það væntanlega af því að hann hefur fengið áhuga á einhverju tilteknu nýju námsefni eða þá á nýjum starfsmöguleikum, og slíkur áhugi ætti þá einnig að duga honum langt til að vinna upp það námsefni sem hann kann að skorta. Tökum einnig eftir að ekki er að vænta erfiðleika í stærðfræðinámi af þessum sökum hjá öðrum en þeim nemendum sem skipta yfir á nýja námsbraut með þyngra námsefni í stærðfræði en á þeirri braut sem þeir hafa verið á.

Okkur er ekki kunnugt um að kannað hafi verið nákvæmlega hversu margir nemendur skipta yfir á nýjar námsbrautir sem leggja meiri áherslu á stærðfræðinám en þær brautir sem þeir voru á áður, en þó virðist óhætt að fullyrða að það sé mikill minni hluti nemenda. Það virðist fráleitt að miða skipulagningu allrar stærðfræðikennslu við þarfir þessa minnihluta. Gerum hins vegar ráð fyrir að það sé í raun álitið tilfinnanlegt vandamál fyrir nemendur að skipta milli námsbrauta og að gera þurfi einhverjar ráðstafanir innan skólakerfisins til að auðvelda nemendum slík umskipti. Þá virðist eðlilegt að skipuleggja sérstaka aðstoð fyrir þessa nemendur eingöngu. Það er að minnsta kosti hæpið ætla sér að leysa vandann með því að leggja það á alla aðra nemendur í öllum framhaldsskólum landsins að læra stærðfræði sem þeim hentar kannski alls ekki.

Um seinna sjónarmiðið er fyrst að segja að trúlega hefur það til þessa í raun vegið þyngra en hið fyrra. Vissulega kann að vera dálítið dýrara, og þó einkum fyrir fámenna skóla, að skipuleggja ólíkt stærðfræðinám fyrir ólíkar námsbrautir. Kostnaðurinn ætti þó ekki að vera verulegur miðað við þá kosti sem það hefur að miða stærðfræðinám meira en nú er gert við hvað hentar best hverjum nemanda. Hér kynni að vera á ferðinni eitt af þeim tilvikum (sem eflaust eru fjölmörg) þar sem vanhugsaður sparnaður á þröngu sviði veldur fyrirsjáanlega miklum kostnaði fyrir þjóðfélagið á öðrum sviðum. Þröng kostnaðarsjónarmið mega ekki ráða of miklu um skipulagningu stærðfræðikennslu. Það er mikilvægt að stærðfræðikennsla taki fyrst og fremst mið af því hvað kemur nemendum best, en ekki hvað kemur skólunum best.

Þegar stærðfræðikennsla á fyrsta ári framhaldsskóla er sameiginleg öllum námsbrautum virðist næsta óhjákvæmlegt að hún taki fyrst og fremst mið af þörfum stærðfræði- eða eðlisfræðibrauta. Þetta er að miklu leyti stærðfræði sem er fyrst og fremst ætluð sem undirbúningur undir nám á seinni árum þessara brauta og nýtist nemendum á öðrum námsbrautum einatt ekki nema að litlum hluta eða þá alls ekki. Við teljum því eitt brýnasta verkefnið í skipulagningu stærðfræðináms í framhaldsskólum að endurskoða námsefni á öðrum brautum en eðlisfræði- eða stærðfræðibrautum, og þá kannski fyrst og fremst á málabrautum, félagsfræðabrautum og iðnnáms- eða tæknibrautum. Þá er einkar mikilvægt að tekið verði tillit til þess hvaða stærðfræði megi ætla að komi að gagni í þeim störfum sem líklegt er talið að nemendur af þessum brautum eigi eftir að leggja fyrir sig.

Við slíka endurskoðun þarf að hafa skýrt í huga það, sem hefur þegar verið vikið að og skal nú ítrekað, að ekki dugar að miða við störf í þjóðfélaginu eins og þau eru nú, heldur þarf einnig að líta til fjarlægari framtíðar og gera ráð fyrir að mörg störf eigi eftir að taka verulegum breytingum og ný störf eigi eftir að bætast við sem krefjast annarskonar stærðfræðiþekkingar en nú er almenn. Við verðum að gera ráð fyrir að margar slíkar breytingar verði með engu móti séðar fyrir, en þó eru nú þegar ýmsar vísbendingar um breytingar sem virðast næsta óhjákvæmilegar. Við nefnum tvö dæmi:

1. Ýmiskonar tölvuhugbúnaður sem verður sífellt aðgengilegri og almennari , t. d. töflureiknar og gagnasafnskerfi, gerir beint eða óbeint kröfur til notenda um skilning og vald á nýjum stærðfræðilegum viðfangsefnum til þess að slíkur búnaður nýtist sem skyldi. Nefnum einföld dæmi: Í gagnasafnskerfum eru skilgreind hlutmengi upplýsinga með flóknum samsettum leitarskilyrðum og ýmiskonar vensl milli upplýsinga. Í töflureiknum er unnið með fylki og vigra — nefnilega töflur, línur þeirra og dálka — og aðgerðir af ýmsum toga framkvæmdar á þeim. Margskonar tölvumyndvinnsla notfærir sér undirstöðuhugtök úr sígildri rúmfræði (eins og aftur verður vikið að í 1.4). Skilningur á því hvað verið er að gera og umræða um það krefst hæfileika til að skilgreina stærðfræðileg hugtök og vinna rökrétt út frá slíkum skilgreiningum.

Lausn margra verkefna sem eru leyst með tölvum byggist á reikniritum. Það er ævinlega stærðfræðilegt viðfangsefni að sannfæra sig og aðra um að reikniritið leysi í raun það verkefni sem fyrir liggur (sjá nánar í grein 1.7).

Því virðist stundum vera trúað að öflugar reiknivélar og tölvuhugbúnaður geri stærðfræðiþekkingu að hluta til óþarfa. En það getur þó aðeins átt við tiltölulega vélrænan reikning, og mikilvægt er að gera sér grein fyrir að slíkur hugbúnaður hefur opnað leiðir til að fást við ný og flóknari viðfangsefni sem aftur kalla á aukna stærðfræðiþekkingu.

2. Ákvarðanataka byggist í vaxandi mæli á stærðfræðilegum líkönum. Skilningur á eðli slíkra líkana er nauðsynlegur ef ákvarðanatakan á að vera skynsamleg og lýðræðisleg. Í sérhverju starfi þarf að taka ákvarðanir, sumar einfaldar, eins og hvort borgi sig að kaupa nýtt tæki, eða hvernig greiðsluform skuli velja við kaup á vörum, aðrar verulega flóknari, eins og hvernig skuli haga fjárfestingum þegar taka þarf tillit til hverskonar óvissu. Það er brýnt að fólk hafi kynnst ýmsum dæmum um hvernig stærðfræði geti gagnast við ákvörðanatöku af margvíslegasta tagi.
 

1.3. Til að nemendur læri nægilega vel þá stærðfræði sem markmiðið er að þeir hafi fullt vald á er nauðsynlegt að þeim sé kennt töluvert meira.

Stærðfræði er í miklu ríkari mæli en aðrar námsgreinar „lagskipt". Með því meinum við að ekki er unnt að afla sér kunnáttu á einhverjum tilteknum sviðum stærðfræðinnar án þess að hafa gott vald á einhverjum öðrum (venjulega einfaldari) sviðum. Um þetta má vitna í [Aða1989]:  

Stærðfræði er frekar en flestar aðrar námsgreinar þess eðlis að ný þekkingaratriði byggjast á þeim sem fyrir eru. Kunnátta í ákveðnum atriðum þarf að vera traust svo unnt sé að byggja áframhaldandi nám á henni. Þess verður að gæta að nemendur séu ekki látnir fást við viðfangsefni sem þeir hafa ekki forsendur til að ráða við.
 
Þessi orð eru vissulega réttmæt, en þau þarfnast þó mikilvægrar viðbótar.

Stærðfræðinámi er stundum líkt við að hlaða vegg: Áður en eitt lag í veggnum er lagt verður að vera búið að koma næsta lagi fyrir neðan það kyrfilega fyrir. Málið er hinsvegar talsvert flóknara, og líkingin er ekki allskostar nákvæm. Við gætum einnig snúið henni við og sagt: Eitt lag í veggnum hefur ekki verið kyrfilega lagt fyrr en búið er að bæta næsta lagi ofan á.

Það er vel þekkt fyrirbæri að fólki reynist oft erfitt að ná valdi á einhverju tilteknu efni innan stærðfræðinnar fyrr en það fer að nota það til að glíma við eitthvert annað og erfiðara efni. Þannig virðist til dæmis að margir nemendur fari ekki að ráða vel við samlagningu tveggja stafa talna fyrr en þeir byrja að leggja saman þriggja stafa tölur.

Ralph P. Boas, sem var þekktur bæði sem stærðfræðingur og afbragðs kennari, hefur einnig lýst þessu fyrirbæri; hann var að velta fyrir sér hvernig ætti að skýra niðurstöðu könnunar sem leiddi í ljós að þeir deildarforingjar í bandaríska sjóhernum sem höfðu að baki námskeið í stærðfræðigreiningu (calculus) stóðu sig betur í starfi en þeir sem ekki höfðu lokið slíkum áfanga, þótt engin sjáanleg not væru fyrir stærðfræðigreiningu í starfi þeirra:  

Ég held að svarsins sé að leita í fyrirbæri sem allir stærðfræðikennarar hafa veitt athygli: það þarf alltaf að kenna nemendum það sem þeir áttu að vera búnir að læra í síðasta námskeiði. […] Venjulegur nemandi lærir ekki í alvöru að leggja saman brot í reikningstímum; en þegar hann hefur lifað af námskeið í algebru, þá getur hann lagt saman talnabrot. Hann lærir ekki algebru í algebrunámskeiðinu; hann lærir hana í stærðfræðigreiningu, þegar hann neyðist til að nota hana. Hann lærir ekki heldur stærðfræðigreiningu í stærðfræðigreiningarnámskeiðinu; en ef hann fer svo að læra um deildajöfnur kann hann að hafa náð bærilegum tökum á einfaldri stærðfræðigreiningu þegar hann lýkur því. Og þannig heldur það áfram gegnum stigveldi námskeiðanna; erfiðasta námskeiðið er auðvitað ekki hægt að læra nema með því að kenna það.
 
Boas leyfir sér það stílbragð að ýkja dálítið, því að hann er að skrifa grein fyrir stærðfræðikennara sem á að vera fyndin og aðgengileg aflestrar. En fyrirbærið sem hann bendir á er vissulega þekkt, og nauðsynlegt er að ræða það nokkuð.

Fyrirbærið virðist raunar alls ekki torskilið. Við förum ekki að skilja tiltekið námsefni almennilega fyrr en við sjáum hvernig því er beitt í einhverju nýju samhengi (og helst í margskonar nýju samhengi), og slíkt samhengi fáum við venjulega ekki að sjá alveg strax og við lærum efnið í fyrsta sinn. Fyrst þarf að ná tiltekinni grunnfærni í notkun einhvers hugtaks, síðan þarf að kenna hvernig á að nota það í margskonar samhengi, og þá fyrst fer það að skiljast.

Þetta virðist liggja ljósast fyrir þegar um er að ræða hugtök eða aðferðir sem eru beinlínis búin til í því augnamiði að nota þau í öðru samhengi. Þannig má til dæmis halda því fram að algebra eins og hún er kennd í skólum hafi fyrst og fremst þann tilgang að nota hana í annarri stærðfræði. Í algebrunámi felst meðal annars að nemendur þurfa að læra táknmál sem er bæði illskiljanlegt og tilgangslaust nema ætlunin sé að nota það til að lesa og tala um einhverja athyglisverða hluti; rétt eins og spænsk málfræði er bæði illskiljanleg og tilgangslaus, að minnsta kosti fyrir langflesta, nema ætlunin sé að nota hana til að læra spænsku — og spænskuna síðan til að lesa og tala um einhvað allt annað en spænska málfræði. Ef gera á algebru skiljanlega þarf þess vegna að sýna hvernig má nota hana til að fást við hluti sem nemendur þekkja, og þá er fyrst og fremst um að ræða talnareikninga í víðasta skilningi; sjá nánar í næstu grein.

En sama gildir líka um hversdagslegri hluti eins og margföldun. Margföldunartaflan er bæði torskilin og tilgangslaus nema við vitum hvernig á að nota hana til að margfalda saman hvaða tölur sem er. Þótt markmið okkar væri einungis að kenna margföldunartöfluna (sem það er þó að sjálfsögðu ekki), þá þyrftum við líka að kenna margföldun náttúrlegra talna til að sýna nemendum fram á einhver not fyrir töfluna. Og þannig má sífellt halda áfram: Þótt markmið okkar væri einungis að kenna margföldun náttúrlegra talna, þá þyrftum við engu að síður að sýna nemendum fram á einhver not fyrir þá margföldun, til dæmis með því að kenna þeim að reikna út flatarmál rétthyrnings með því að margfalda saman lengd hans og breidd. Í þessu tilviki mætti raunar taka dýpra í árinni og halda því fram að einmitt þetta notkunardæmi sé nauðsynlegt til að skilja margföldun fyllilega:

Tengsl margföldunar við flatarmál rétthyrninga eru afar náin. Sú staðreynd að flatarmál rétthyrnings er margfeldið af lengd hans og breidd er nefnilega ekki bara hversdagslegt notkunardæmi, heldur gefur hún okkur rúmfræðilega túlkun á margföldun. Hún leyfir til dæmis að skýra út margföldunarhugtakið með tilvísun til flatarmálsreikninga, og gerir jafnframt kleift að varpa ljósi á ýmsar staðreyndir um margföldun með teikningum; til dæmis er auðvelt að útbúa einfaldar skýringarmyndir fyrir margar helstu algebrulegu undirstöðureglurnar sem margföldun fullnægir.

Einnig virðist mega halda því fram með nokkrum rétti (þótt ekki sé víst að það sjónarmið yrði ofan á við nánari athugun) að þetta notkunardæmi úr flatarmálsfræði sé fyrst og fremst gagnlegt til að útskýra margföldunarhugtakið, og að flest fólk hafi í reynd sárasjaldan þörf fyrir að reikna út flatarmál einhverra tiltekinna rétthyrninga á lífsleiðinni (þótt auðvitað megi hugsa sér fjölmargar hversdagslegar kringumstæður þar sem slíkur flatarmálsreikningur gæti komið að gagni). Til dæmis gætu einhverjir eflaust haldið því fram (með nokkrum rétti) að fólk þyrfti að vísu að hafa að minnsta kosti einhverja óljósa hugmynd um hvað flatarmál er til að átta sig á hvað það þýðir að leigja eða kaupa húseign eða landflæmi af tiltekinni stærð, en raunverulegar mælingar á stærð húsa og landskika og útreikningur á flatarmáli þeirra séu þó ævinlega í höndum tiltölulega fárra sérfræðinga.

Það mætti því vel hugsa sér að menn gætu orðið ósammála um hvort kunnátta í flatarmálsreikningi sé gagnleg nokkrum öðrum en þeim sem þurfa að nota slíka reikninga í starfi sínu. En samt sem áður gætu menn hugsanlega náð samkomulegi um að flatarmálsreikning ætti þó að kenna í öllum grunnskólum landsins einungis í þeim tilgangi að hjálpa nemendum að læra og skilja margföldun.

Með hliðsjón af þessu dæmi og fjölmörgum öðrum má því komast að þeirri niðurstöðu að nauðsynlegt geti verið frá nytsemisjónarmiði að kenna eitthvert tiltekið efni í stærðfræði, jafnvel þótt við teljum það vera alveg gagnslaust í sjálfu sér, ef það gæti samt sem áður hjálpað okkur að skilja eitthvert allt annað efni sem við teljum gagnlegt eða jafnvel nauðsynlegt.

Að lokum viljum við benda stuttlega á eina afleiðingu af þessum hugleiðingum sem snertir kennsluaðferðir fremur en val efnisþátta: Ef nemandi á í erfiðleikum með að ná tökum á einhverjum efnisþætti, þá er vísast að rétta leiðin til að hjálpa honum til að komast áfram sé alls ekki sú að fara gegnum efnið aftur og aftur og láta hann reikna úr því fleiri og fleiri dæmi þangað til hann hefur náð á því tökum — því að kannski gerist það aldrei. Það kann að vera happadrýgra að snúa sér að allt öðru efni sem má síðar nota til að varpa ljósi á hið fyrra.
 

1.4. Gera þarf nemendum kleift að afla sér nægilegar kunnáttu til að þeir geti stundað framhaldsnám í ýmsum greinum.

Við höfum í þessari skýrslu gengið út frá að skipting í námsbrautir hefjist ekki fyrr en í framhaldsskóla, og að grunnskóla verði ekki skipt í brautir. Af því leiðir að gera þarf þá kröfu að allir sem fara gegnum grunnskóla verði að eiga þess kost að afla sér nægilegrar kunnáttu í stærðfræði til að þeir geti lagt stund á hvaða framhaldsnám sem er.

Í framhaldsskólum verður að sjálfsögðu einnig að taka mið af því framhaldsnámi sem líklegt er að nemendur leggi fyrir sig. En eftir því sem námsbrautum fjölgar má gera ráð fyrir að í hverri þeirra þurfi að taka mið af færri greinum sem nemendur úr brautinni séu líklegir til að stunda framhaldsnám í, og því verði auðveldara að miða efnisval í stærðfræðikennslu við hvað sé raunverulega æskilegt fyrir nemendur á hverri námsbraut. Við höfum þegar bent á að þörf fyrir stærðfræði er ólík í ólíkum störfum og lagt sérstaka áherslu á þörf þess að skilgreina að nýju efnisinnihald mismunandi námsbrauta í framhaldsskólum; jafnframt bentum við á skammsýni þess að skipuleggja stærðfræðikennslu einungis út frá því hvernig hún er raunverulega notuð nú á dögum. Það er eðlilegt að gera ráð fyrir að mestur hluti þeirrar stærðfræði sem einungis þarf að nota á tilteknum námsbrautum í framhaldsskóla verði einmitt kenndur á þeim námsbrautum, en ekki til dæmis strax í grunnskóla.

Eftir er þó að velta því fyrir sér hvaða afleiðingar krafan um nægilega stærðfræðikunnáttu til að leggja stund á hvaða framhaldsnám sem er hefur fyrir stærðfræðikennslu í grunnskólum. Við ræðum þá einkum tvennt: Í fyrsta lagi hvaða afleiðingar hún hefur um val efnisþátta í námsefni skólanna, og í öðru lagi á framkvæmd kennslu í skólakerfinu.

Hvað vali efnisþátta snertir, þá ræðum við fyrst og fremst hvað þarf að kenna í skólum til viðbótar við þá efnisþætti sem velja þarf af öðrum ástæðum: Hvaða námsefni í framhaldsnámi krefst sérstaks undirbúnings þegar á unga aldri svo að byrja þurfi að leggja undirstöðurnar strax í grunnskóla? Þar þarf fyrst að telja tvær undirstöðugreinar, algebru og rúmfræði. Einnig er notkun tölfræði löngu orðin afar mikilvæg í fjölmörgum greinum og eykst hröðum skrefum, auk þess sem sumir þættir hennar eru nauðsynlegir til að skilja ýmsa hversdagslega málnotkun, eins og vikið verður að í 1.7 hér á eftir; og því þarf einnig að huga að henni nokkuð snemma.

Víkjum fyrst að algebru. Tilgangur algebrukennslu í skólum hlýtur fyrst og fremst að vera tvennskonar. Í fyrsta lagi eru í algebru, eins og að framan segir, lagðar undirstöður að því táknmáli sem notað er hvarvetna í allri annarri stærðfræði, og skilningur á því er nauðsynlegur til geta lesið og tileinkað sér hvaða texta sem vera skal með einhverju stærðfræðilegu inntaki. Við vitnum í [For1997]:  

Skilningur á notkun bókastafa í stærðfræði er nauðsynlegur til að geta lesið hvaða texta sem er um stærðfræði eða greinar sem notfæra sér hana að einhverju leyti. Sagt hefur verið með réttu að stærðfræðin sé tungumál raunvísindanna. Með jöfnum rétti má halda því fram að algebran sé tungumál stærðfræðinnar. Sá sem vill lesa um stærðfræði eða raungreinar verður því að vera fluglæs á algebru, að öðrum kosti fer honum eins og þeim sem reynir að stauta sig fram úr fræðiritgerð á erlendu tungumáli sem hann skilur illa.
[…]
Það er mikilvægt að átta sig á hve víða algebra kemur við sögu. Vinna að verkefni í raungreinum eða verkfræði skiptist iðulega í þrjá þætti, í fyrsta lagi að setja fram stærðfræðilegt líkan fyrir viðfangsefnið, í öðru lagi að reikna í líkaninu út frá gögnum sem hafa fengist með mælingum, en fyrir slíka reikninga þarf hugsanlega að semja einhver tölvuforrit, og í þriðja lagi að túlka og setja fram niðurstöðurnar. Venjulega er einhver algebra nauðsynleg í öllum þessum verkþáttum.
 
Í öðru lagi er kunnátta í algebru vel til þess fallin að dýpka og skerpa skilning nemenda á talnahugtakinu og eiginleikum talnakerfisins.

Í [For1997] er reynt að gera stuttlega grein fyrir „færni í algebru" og sagt að þar sé átt við tvennt: „Í fyrsta lagi skilning á táknmáli algebrunnar, og í öðru lagi leikni í hvers konar reikningi með stærðum og táknum af ýmsum gerðum, eða í bókstafareikningi eins og sagt er." Þetta er svo nánar útskýrt með eftirfarandi hætti:  

Skilningur á bókstafareikningi
Undirstaða skilnings á bókstafareikningi felst í að átta sig á hvernig bókstafir eru notaðir sem heiti fyrir stærðir, bæði þekktar og óþekktar, í ýmsu samhengi.

Í fyrsta lagi má ævinlega nota bókstaf sem heiti fyrir hvaða tiltekna tölu sem er til að einfalda reikninga. Ef við eigum til dæmis að reikna út margfeldið 1002·998, þá getum við notað bókstafinn „a" í stað tölunnar 1000; við eigum þá að reikna út (a + 2)(a – 2), og regla segir okkur að það sé jafnt a2 – 22, svo að útkoman úr margfölduninni er 1 000 000 – 4 = 999 996.

Í öðru lagi má nota bókstafi sem heiti sem geta átt við hvaða tölu sem er. Þetta er til dæmis gert þegar setja þarf fram almennar reglur, svo sem regluna um mismun tveggja annarra velda a2 b2 = (a + b)(ab). Hér þarf nemandinn að átta sig á að reglan gildir um allar tölur a og b.

Í þriðja lagi eru bókstafir notaðir sem tákn fyrir óþekktar stærðir sem þarf að ákvarða út frá tilteknum skilyrðum; oft má setja slík skilyrðifram sem jöfnur, eins og í dæminu 2x + 3 = 0. Eftirá er óþekkta stærðin síðan fundin með reikningum. Í þessu dæmi er x talan –3/2.

Í fjórða lagi getur notkun bókstafa verið með mismunandi hætti í sama dæmi, þannig að sumir bókstafir standa fyrir þekktar og aðrir fyrir óþekktar stærðir, til dæmis þegar sett er fram regla um almenna lausn jöfnu af gerðinni ax + b = 0, þar sem a og b eru hvaða gefnar stærðir sem er og x er óþekkt stærð.

Í fimmta lagi er algengt að nota bókstafi til að lýsa hvers konar samhengi milli stærða, eins og þegar sagt er að jafnan y = 2x + 3 skilgreini línu í hnitasléttunni eða þegar samhenginu milli hliðarlengda í rétthyrndum þríhyrningi er lýst með jöfnunni a2 + b2 = c2.

Einnig er mikilvægt að skilja hvernig búa má til heiti á nýjum stærðum sem búnar eru til úr öðrum stærðum með algebrulegum aðgerðum. Ef til dæmis x og y eru ólíkar stærðir, þá er  ný stærð, sem má reikna með eins og öðrum stærðum.

Færni í bókstafareikningi
Færni í algebru felst í að geta reiknað hratt og örugglega og hafa ætíð á takteinum þau algebrulegu lögmál sem geta auðveldað slíka reikninga. Það er því mikilvægt að kunna undirstöðureglur algebrunnar og geta notað þær villu- og viðstöðulaust. Hverjar eru þá undirstöðureglur algebrunnar? Að minnsta kosti allar þær reglur sem hafa fengið nöfn í kennslubókum, svo sem tengireglur og víxlreglur fyrir samlagningu og margföldun, dreifireglur, reglan um mismun tveggja annarra velda, tvíliðureglan, reglur um summu og margfeldi brota o. fl.

Nemendur þurfa einnig að hafa nægilegan skilning á reglum algebrunnar til að greina sannar reglur frá ósönnum. Alltof oft sjást notaðar „reglur" sem eru hreinar hugsanavillur, svo sem   =  +  eða  =  +  . Nemendur eiga að geta áttað sig á að þessar reglur geta með engu móti gilt almennt, t. d. með því að setja inn ákveðnar tölur í stað bókstafanna.

 

Eins og við bentum á í síðustu grein getur algebra orðið torskilin og virst tilgangslaus nema þess sé gætt að nemendur kynnist því hvernig megi nota hana. Slík kynning á og þjálfun í notkun algebrunnar þarf að hefjast um leið og algebrukennslan sjálf og haldast í hendur við hana samfellt upp frá því. Dæmið úr síðustu tilvitnun um notkun algebrureglunnar (a + b)(ab) = a2b2 til að reikna út margfeldið 1002 · 998 er aðeins eitt af ótal mörgum sem eru til þess fallin að skýra notkun algebru í talnareikningi.

Það er æskilegt að byrja sem fyrst að þjálfa skilning á algebru, en við bendum einnig á að hann má undirbúa með margvíslegum hætti áður en eiginlegt algebrunám hefst. Til dæmis má byrja að kynna nemendum hinar ýmsu reglur algebrunnar, svo sem víxlreglu eða dreifireglur, löngu áður en notkun bókstafa hefst; við bendum til frekari skýringar á neðanmálsgrein 10 á bls. 9 í þessari skýrslu.

Rúmfræði hefur frá alda öðli verið álitin nauðsynlegur hluti af skólanámi. Það er því sérkennileg staðreynd að vægi hefðbundinnar rúmfræði í skólanámsefni virðist hafa minnkað verulega í mörgum löndum á undanförnum áratugum, og erfitt er að gera sér fullkomlega grein fyrir raunverulegum ástæðum þess. Þó má benda á þá staðreynd að nokkrir áhrifamiklir stærðfræðingar gerðu atlögu að hefðbundinni rúmfræðikennslu á árunum kringum 1960. Sú atlaga, sem tengist náið hinni svokölluðu „nýju stærðfræði" frá svipuðum tíma, virðist meðal annars hafa byggst á þeirri trú að stærðfræðingar á 20. öld, einkum sá hópur af stærðfræðingum sem birti verk sín undir dulnefninu „N. Bourbaki", hafi fundið nýtt kerfi, betra en öll eldri kerfi, til að flokka og skipuleggja stærðfræðilega þekkingu, og að skólastærðfræði ætti, að minnsta kosti eftir því sem kostur er, að fylgja þessari nýju flokkun. Samkvæmt kerfi Bourbakis átti ekki að líta á sígilda rúmfræði sem sjálfstæða fræðigrein, heldur sem hluta af algebru. Þá var ekki langt í að einhverjir legðu til að einnig í skólum skyldi rúmfræði kennd sem algebra samkvæmt þessari nýju hugsun. Nú á dögum þykir þetta algebrulega sjónarmið væntanlega fulltormelt fyrir skólanemendur, en hefðbundin rúmfræði hefur þó ekki átt fyllilega afturkvæmt.

Þótt Bourbaki hafi haft veruleg áhrif á hugsun stærðfræðinga á seinni hluta 20. aldar (og sennilega miklu meiri en margir andstæðingar hans vilja vera láta) er það þó eitt einkenni á kerfi hans að það er alls ekki auðvelt að staðsetja hefðbundna rúmfræði innan þess, og bæði hann sjálfur og þeir fylgismenn hans sem hafa látið til sín taka í skólamálum hafa haft tilhneigingu til að álykta sem svo að hefðbundin rúmfræði geti þá ekki verið jafnmikilvæg og áður var talið. Sú ályktun er að sjálfsögðu alveg út í hött.

Það má tilgreina margt sem mælir með því að sígild rúmfræði sé aftur hafin til fyrri vegs og virðingar í skólanámsefni:

Í fyrsta lagi gefur rúmfræði okkur nær óþrjótandi dæmi um notkun reiknings eða algebru; sem dæmi nefnum við þau nánu tengsl margföldunar og reiknings á flatarmáli rétthyrninga sem vikið var að í 1.3.

Í öðru lagi hjálpar rúmfræði að þjálfa rúmskyn nemenda og veitir þeim aðgang að myndefni sem þeir geta notfært sér til skilnings margra annarra hugtaka en þeirra sem rúmfræðin sjálf fjallar um, til dæmis með því að gera þeim kleift að teikna ýmiskonar skýringarmyndir. Teikningar með hringfara og reglustiku gera nemendum einnig kleift að stunda rúmfræði með höndunum, ef svo má að orði komast, og margir nemendur hafa sérstaka ánægju af því.

Í þriðja lagi er rúmfræði tilvalin til að þjálfa rökhugsun og ályktunargáfu nemenda, enda hefur hún verið notuð beinlínis í þeim tilgangi um aldaraðir; að þessu víkjum við nánar í grein 1.7.

Í fjórða lagi hefur rúmfræði ótvírætt skemmtigildi, eða getur að minnsta kosti haft það fyrir marga nemendur ef rétt er á málum haldið. Hún getur því laðað marga að stærðfræði.

Í fimmta lagi mætti ætla að mikilvægi sígildrar rúmfræði aukist nokkuð með tilkomu nútímatölvutækni. Til dæmis notfærir margskonar tölvumyndvinnsla sér mörg af undirstöðuhugtökum sígildrar rúmfræði, og ekki virðist óvarlegt að ætla að notkun rúmfræði í tölvufræðum muni enn aukast.

Í sjötta og síðasta lagi skal svo telja þá ástæðu sem við höfum verið að fjalla sérstaklega um í þessari grein: Staðgóð undirstöðuþekking á rúmfræði er nauðsynleg fyrir allt eiginlegt stærðfræðinám, allt frá framhaldsskólum og fram yfir háskólastig. Til þess liggja margar ástæður, allt frá því einfalda atriði að skýringarmyndir, sem eru notaðar afar víða á öllum sviðum stærðfræði og stærðfræðitengdra greina, byggjast einatt á góðum skilningi á rúmfræði, og til þeirrar veigameiri ástæðu að mörg stærðfræðileg hugtök verða alls ekki skilin án staðgóðrar rúmfræðiþekkingar. Þannig byggjast mikilvægustu hugtök stærðfræðigreiningar á skilningi rúmfræðilegra hugtaka: Afleiðuhugtakið byggist á snertilhugtakinu og heildishugtakið á flatar- og rúmmálshugtakinu.

Um tölfræði getum við haft miklu færri orð. Í fyrsta lagi eru not hennar bæði augljós og útbreidd, og við þurfum því ekki að eyða löngu máli í að réttlæta hana sem kennslugrein. Í öðru lagi er sú tölfræði sem til greina kemur að kenna í skólum fyrst og fremst miðuð við notkun í öðrum greinum en stærðfræði, en ekki nauðsynleg undirstaða til skilnings í áframhaldandi stærðfræðinámi líkt og algebra og rúmfræði.

Notkun tölfræði hefur aukist hröðum skrefum með tilkomu nútímareiknivéla, sem gera úrvinnslu tölulegra gagna margfalt auðveldari en áður var. Jafnvel tiltölulega einfaldar vasareiknivélar eru með innbyggðar margskonar aðferðir til slíkrar úrvinnslu. Slíkt er þó gagnslaust nema fyrir þá sem vita hvað það er eiginlega sem tölvurnar eru að gera. Því þarf fyrst og fremst að leggja áherslu á skilning undirstöðuhugtaka. Einhver þekking á einföldustu hugtökum tölfræðinnar er orðin nauðsynleg svo að segja hverjum manni, eins og við víkjum að í 1.7.

Við látum þetta nægja um hvaða afleiðingar krafan um nægilega stærðfræðikunnáttu til að leggja stund á hvaða framhaldsnám sem er hefur fyrir val efnisþátta í námsefni skólanna og snúum okkur að þeirri spurningu hvaða afleiðingar hún hefur fyrir framkvæmd kennslu í skólakerfinu.

Því er í raun fljótsvarað: Fyrir þá sem ætla í framhaldsnám í greinum sem nota stærðfræði að einhverju marki er mikilvægast að læra sem mesta stærðfræði sem fyrst. En þá er líka mikilvægt að þeir fái tækifæri til þess. Ef við nú gefum okkur að auki það sem virðist raunar vera sjálfsagður hlutur, að ekki ætli sér allir nemendur í þesskonar framhaldsnám, þá er ljóslega óraunsætt að miða stærðfræðimenntun allra skólanemenda við þarfir þessa hóps. Af þessu leiðir þá að sníða verður stærðfræðinám betur að áhuga og þörfum hvers einstaks nemanda en gert hefur verið til þessa.

Þetta þýðir að sérhverjum nemanda verður að vera kleift að fá viðfangsefni við sitt hæfi, þannig að hann geti náð sem bestum árangri í samræmi við hæfileika sína. Því þurfa ólíkir nemendur að fá ólíkt námsefni eftir því sem geta þeirra og áhugamál leyfa. Nákvæmlega hvernig á að standa að slíku fyrirkomulagi vekur upp margar erfiðar spurningar sem þarf að leitast við að svara í framhaldi þessarar skýrslu.
 

1.5. Stærðfræði á kenna sem sjálfsagðan hluta af almennri menntun.
Er ekki almenn menntun það sem skólarnir veita okkur? Er stærðfræði ekki talin sjálfsagður hluti af skólanámi? Leiðir ekki af þessu að stærðfræði sé sjálfsagður hluti af almennri menntun? Ekki eru allir á eitt sáttir um þetta. Meðal annars er það ein af meginforsendum Atla Harðarsonar í [Atl1994] að  

Atli skilgreinir hvað hann á við með „almennri menntun". Raunar gefur hann skilgreiningar á tveimur skyldum hugtökum: Fyrst skilgreinir hann „almenna lágmarksmenntun" sem „þá vitneskju, skilning, hæfni og kunnáttu sem samfélagið krefst af hverjum manni og mönnum þykir til minnkunar að vera án", og síðan skilgreinir hann „góða almenna menntun" sem „vitneskju, skilning, hæfni og kunnáttu sem er ætlast til eða talið æskilegt að allir menntaðir menn hafi á valdi sínu." Ekki er nákvæmlega skýrt í greininni hvað átt er við með „menntuðum manni", en af samhenginu má kannski ráða að það sé sá sem hefur lokið stúdentsprófi: „Menn segja til dæmis að stúdentspróf veiti góða almenna menntun og við skulum vona að það sé rétt." Í stórum dráttum virðist Atli telja að það sé einhverskonar félagslegt samkomulagsatriði hvað telja skuli „almenna menntun", eða að almenningsálit ráði því alfarið. Þannig spyr hann hversu mikið „menntaður maður" á að kunna í stærðfræði, telur upp ýmis atriði sem allir eiga að læra í framhaldsskóla samkvæmt námsskrá og bætir við.   Námsskráin virðist semsagt gera ráð fyrir því að menntaðir menn kunni töluvert í stærðfræði. Samt er ekki talið neitt athugavert við það að hámenntað fólk kunni sama og enga stærðfræði umfram þá sem öllum er nauðsynleg. Hér er mikið ósamræmi milli þeirrar kröfu sem skólarnir gera og þess sem almenningsálitið krefst.
 
Þetta ósamræmi segir Atli að eigi sér að minnsta kosti tvær skýringar:   Önnur skýringin er sú að meirihluti nemenda nær litlu sem engu valdi á þeirri stærðfræði sem kennd er í framhaldsskólum og lítur svo á að hún sé svo erfið að aðeins fáeinir útvaldir geti tileinkað sér hana. Í augum flestra eru stærðfræðilegar útleiðslur álíka óskiljanlegar og egypskt myndletur. Þetta viðhorf kemur í veg fyrir að stærðfræðin verði sameign allra menntaðra manna.

Hin skýringin er að menn álíta að stærðfræði hafi eingöngu notagildi en sé sneydd því menningar- og menntagildi sem þekking á listum, sögu eða náttúrufræði hefur. Mörgum finnst því að stærðfræði sem nýtist ekki með beinum hætti í lífsbaráttunni, þ. e. öll stærðfræði umfram það lágmark sem fyrr er getið, sé einskis virði.
 

Við getum verið sammála Atla Harðarsyni um að stærðfræði hafi ekki náð að verða sjálfsagður hluti af almennri menntun, en við viljum þó leggja í það töluvert annan skilning en hann hvað átt er við með þessum orðum.

Til þess að þekking á stærðfræði geti orðið hluti af almennri menntun þarf að gera nemendum ljóst hvernig stærðfræði hefur frá upphafi verið hluti af almennri menningu. Stærðfræði á sér langa og litríka sögu sem er bæði heillandi og lærdómsrík. Hún hefur frá alda öðli tengst náið tilraunum manna til að skilja heiminn umhverfis sig, en jafnframt sýnir hún okkur fjölmörg dæmi um frjálsa sköpunargáfu mannsins og hæfileika hans til að búa til nýja hugarheima óháða veröldinni umhverfis okkur. Hún hefur ævinlega haldist í hendur við náttúruvísindin, en einnig hefur hún komið við sögu lista, bæði tónlistar og myndlistar. Hún er nákvæmust allra vísinda, en jafnframt leggja stærðfræðingar fagurfræðilegan mælikvarða á niðurstöður hennar. Hún er líka elst allra vísindagreina í þeim skilningi að jafnvel elstu niðurstöður hennar standa ennþá óhaggaðar meðan niðurstöður flestra annarra vísinda úreldast dag frá degi; og því er saga hennar ævinlega fersk. Og um allt þetta ætti að fjalla í skólakennslu. Það er hins vegar afskaplega sjaldan gert.

Það hefur löngum og víða verið almenn tihneiging til að kenna stærðfræði sem nokkurnveginn samhengislaust samsafn af aðferðum til að leysa dæmi af ákveðnu tagi. Kunnátta í stærðfræði er oftast einungis metin út frá hæfni nemenda til að leysa verkefni af meira eða minna stöðluðum gerðum. Í kennslubókum í stærðfræði er megináhersla lögð á þjálfun í dæmareikningi, en tengsl stærðfræðinnar við almenna menningarsögu eru vanrækt. Nemendur hafa heldur ekkert upp úr því að kynna sér sögu stærðfræðinnar, því að í henni er aldrei prófað.

Í afar athyglisverðum samanburði á kennslubókum frá mörgum löndum sem gerður var í tengslum við nýlega TIMSS-könnun kemst höfundurinn, Geoffrey Howson, að þeirri dapurlegu niðurstöðu að stærðfræðibækur í flestum þeim löndum sem könnunin náði til séu steyptar í sama tilbreytingalausa mótið:  

Mikilvægasti eiginleiki kennslubókar er kannski sú sýn sem hún veitir af stærðfræðinni. Samanstendur stærðfræði af að því er virðist óendanlegum lista af staðreyndum og aðferðum sem þarf að læra, eða af mynstrum og þekkingu sem þarf að byggja upp? […]

Hér skal látið nægja að játa nokkur vonbrigði. Stærðfræði er sett fram með afar keimlíkum hætti í kennslubókunum sem athugaðar voru. Það virðist vera staðlað mynstur að setja fram stærðfræði í köflum, eða minni einingum, með eftirfarandi skipan:
 

1. Inngangsathafnir eða dæmi.

2. Næsta ítarleg könnun á almennu dæmi.

3. Framsetning kjarna — skilgreininga, aðferða, o. s. frv.  

4. Styrking með reikningsdæmum og verkefnum, óhlutbundnum og í samhengi.
 

[…] Að vísu hefur dálítið verið reynt að rjúfa einhæfni ensku og japönsku bókanna með því að skjóta inn köflum um „kannanir" (England) eða skeyta „viðfangsefnahornum" aftan við kafla (Japan). Báðar hugmyndirnar virðast nokkurs virði. Þar er sett fram ýmislegt atferli og, í japanska tilvikinu, gefið tækifæri til að líta á nokkrar hliðar á sögu stærðfræðinnar. Hvernig þetta er gert gefur okkur hinsvegar þá tilfinningu að slíkt atferli sé gert að jaðarfyrirbæri með því að koma því fyrir í dálitlum einangrunarbúðum þar sem kennarar geta auðveldlega hunsað það. Að þessum innskotum frátöldum hefur fjarska lítið verið gert til að brjóta upp einsleitni textanna: að gera breytingar á hraða eða hrynjandi. Til dæmis minnist ég engra kafla sem nemendur eiga að lesa og ræða sín á milli.

 

Hér virðist sem sagt vera um alþjóðlegt vandamál að ræða. Gegn þessu þarf að reyna að vinna. Tvímælalaust skiptir meginmáli að betur sé vandað til kennslubóka en almennt hefur verið gert; — en síðasta tilvitnun sýnir að það er allsendis óvíst að góðar fyrirmyndir séu auðfundnar.

Hins vegar er af nógu af taka. Saga stærðfræðinnar og tengsl hennar við almenna menningu eru fyrirbæri sem fjölmargt hefur verið skrifað um í ótal aðgengilegum ritum, svo að til er feikilegt magn af efni sem mætti velja úr og setja fram í kennslubókum eða öðrum ritum ætluðum skólanemendum. Það má finna slíkan efnivið sem hæfir svo að segja hvaða þroskastigi sem er. Til dæmis mætti tiltölulega snemma kynna börnum aðra talnaritun en þau eiga að venjast, hvort sem er talnatákn fornþjóða, til dæmis Egypta eða Babýloníumanna, eða frá framandi menningarheimum, svo sem Austurlöndum fjær eða Afríku. Það er ekki svo erfitt að skrifa tölur eins og Egyptar gerðu til forna — börn geta lært að gera það sjálf — og slíkan efnivið má setja fram sem skemmtiefni, en ekki sem leiðinlegan fróðleik. Jafnframt öðlast nemendur aukinn skilning á talnahugtakinu. Til dæmis læra þeir (án þess nauðsynlega að gera sér meðvitaða grein fyrir því sjálfir) að gera greinarmun á tölum og talnatáknum.

Stærðfræðikunnátta felst ekki einungis í færni til að leysa reikningsdæmi, heldur einnig í þekkingu á því hvernig mannkynið hefur notað stærðfræði frá upphafi vega. Einhver slík þekking er bráðnauðsynleg til að öðlast skilning á greininni. Og það er heldur alls ekki nauðsynlegt að miðlun þeirrar þekkingar tengist beinlínis því sem nemendur eru að læra í reikningsfærni hverju sinni, heldur er ekkert því til fyrirstöðu að kynna þeim efni sem þeir mundu ekki ráða við að ná neinni reikningsfærni í. Við látum nægja að nefna þrjú dæmi um efni af þessu tagi sem er vel hugsanlegt að kynna í framhaldsskólum:

Fyrsta dæmið er óevklíðsk rúmfræði. Uppgötvun hennar á 19. öld hafði svo gífurleg áhrif á hvernig menn hugsa bæði um stærðfræði og veröldina kringum okkur að jafna má við byltingu. Hún kollvarpaði rótgrónum heimspekilegum hugmyndum um eðli stærðfræðinnar almennt og rúmfræðinnar sérstaklega, svo sem þeim sem felast í heimspeki Kants, og hún opnaði mannlegri hugsun leið að þeim nýja skilningi á rúmi og tíma sem átti eftir að koma fram í afstæðiskenningu Einsteins. Því er óhætt að fullyrða að hér sé um að ræða eina allramerkilegustu uppgötvun í hugmyndasögu mannkynsins. Þó eru undirstöðuhugmyndir óevklíðskrar rúmfræði ekki flóknari en svo að gera má þær skiljanlegar þeim sem hafa náð hæfilegu valdi á þeirri hversdagslegu rúmfræði sem kennd er (eða ætti að minnsta kosti að kenna) í skólum. Hér virðist því kjörið tækifæri til að kynna nemendum mikilvæga hugmynd í stærðfræði, sem þarf ekki að tengjast færni í reikningi eða dæmalausnum.

Annað dæmið er síðasta setning Fermats. Þetta er niðurstaða úr talnafræði, sem Pierre Fermat setti fram um 1637, án þess að gefa nokkra sönnun. Nær þrotlaus leit stærðfræðinga að sönnun þessarar niðurstöðu bar ekki árangur fyrr en árið 1994. Þá sannaði Andrew Wiles setningu Fermats með því að nota flóknar aðferðir úr ýmsum greinum stærðfræðinnar. Sönnunin komst á prent árið 1995. Það er auðvelt að skilja hvað setning Fermats segir, en eflaust mundu flestum stærðfræðingum fallast hendur ef þeir væru beðnir um að lesa sönnun Wiles. Þess er því enginn kostur að gera nokkra grein fyrir sönnuninni í skólakennslu; ekki einu sinni lauslega. En hér er efni í sögu sem hægt er að segja í skólum: Loksins er búið að svara spurningu, sem einfalt er að setja fram, en ekki fyrr en eftir þrotlausa vinnu gífurlegs fjölda manns í þau rúmlega 350 ár sem liðin eru frá því hennar var fyrst spurt, og svarið byggist á allri þessari vinnu; á þeim hugtökum og aðferðum sem smíðuð hafa verið í þeim tilgangi að takast á við þetta verkefni og önnur skyld öll þessi ár. Þessi saga er alveg nógu lærdómsrík, þótt ekki sé hægt að kenna stærðfræðina sem að baki liggur.

Þriðja dæmið er varprúmfræði. Það er engin ástæða til að framhaldsskólanemendur læri varprúmfræði þannig að þeir nái einhverri færni í henni í þeim skilningi að þeir geti leyst reikningsdæmi. En það er vel hægt að kynna nokkrar af undistöðuhugmyndum greinarinnar, sem eru hæfilega framandlegar til að vera dálítið spennandi, en ekki svo flóknar að þær séu illskiljanlegar þess vegna, og segja dálítið af þeirri merkilegu sögu hvernig rekja má upptök greinarinnar til myndlistar á endurreisnartímanum, nánar tilgreint til viðleitni manna til að finna þau lögmál sem ráða fjarvíddarteikningu.

Það mætti bæta mörgum tugum dæma við þessi þrjú. En þau ættu að duga til að benda á þá staðreynd að kunnátta í stærðfræði er ekki hið sama og færni í reikningi. Við reikningsfærnina þarf að bætast innsýn í stöðu stærðfræðinnar innan heimsmenningarinnar, og sá þáttur er kannski ekkert síður mikilvægur. Við viljum hins vegar benda á að til þess nægir ekki að skjóta inn í kennslubækur kafla og kafla um sögu stærðfræðinnar, þótt það sé auðvitað ekki slæmt í sjálfu sér, heldur þarf helst einnig að setja það sem nemendur eru að fást við í það og það sinnið í víðara samhengi eftir því sem kostur er. Og það mætti oft gera miklu betur en reyndin er.

Vonandi er nú orðið ljóst hvað við eigum við með því að stærðfræði eigi að kenna sem hluta af almennri menntun. Það ætti því miður einnig að vera ljóst að mikið vantar upp á að svo sé gert, hvort sem er hér á landi eða annarsstaðar í heiminum.

 
1.6. Táknmál stærðfræðinnar er mikilvæg viðbót við venjulegt tungumál og gerir það að öflugum tjáningarmiðli sem mikilvægt er að ná valdi á.  

Við komum hér að afar mikilvægu efni sem hefur ýmsar hliðar, og allar þeirra margbrotnar. Við eigum hér við tengsl stærðfræðinnar og venjulegs tungumáls.

Það er stundum sagt að „stærðfræði sé tungumál". Það er að vísu alrangt, en þó felst í þessari fullyrðingu það sannleikskorn að stærðfræði er ekki sett fram á venjulegu tungumáli, heldur á tungumáli sem hefur verið aukið með ýmsu móti, bæði með nýjum orðum, en einnig með sérstöku táknmáli, sem þarf töluverða æfingu til að læra að beita. Auk þess er málnotkun í stærðfræði töluvert öðruvísi en í daglegu máli: Bæði krefst stærðfræði miklu meiri nákvæmni í notkun tungunnar en farið er fram á í hversdagslegu tali, og auk þess nota stærðfræðingar mörg algeng orð í merkingu sem er verulega frábrugðin þeirri sem þau hafa dags daglega. Það er mikilvægur hluti af stærðfræðinámi að læra þessa sérstöku málnotkun, og fyrir flesta er hann langt frá því að vera auðveldasti hlutinn.

Við byrjum á einfaldasta efninu; hvernig stærðfræðileg eða stærðfræðitengd orð, tákn og hugtök eru notuð á degi hverjum, til dæmis í dagblöðum og öðrum fjölmiðlum, og mikilvægi þess fyrir almenna borgara að skilja þessa málnotkun.

Í fyrsta lagi þarf fólk að kunna að lesa úr ýmiskonar tölulegum upplýsingum. Einfaldasta krafan er að fólk geti lesið og skrifað tölur, en jafnvel í því efni þarf að ýmsu að gæta. Til dæmis er gagnlegt að gera sér grein fyrir að dálítið ólík talnaritun tíðkast í ólíkum löndum: Sumstaðar er ritað „1 234 567,89" fyrir það sem annarstaðar er ritað „1,234,567.89" (og því getur talnatáknið „12,345" verið tvírætt), og það sem kallast „billjón" er ekki hið sama á Íslandi og í Bandaríkjum Norður-Ameríku; — það er ekki óþekkt að ruglingur komi upp vegna slíks misræmis þegar tölulegar upplýsingar ferðast milli landa. Og svo að fleira sé tínt til þarf fólk að geta lesið úr rómverskum tölum, og stundum úr talnatáknum á borð við „5,67·108". Ennfremur þarf fólk að geta lesið úr töflum, úr línuritum, skífuritum og öðrum myndum sem notaðar eru til að setja fram tölulegar upplýsingar.

Í öðru lagi þurfa allir að skilja ýmiskonar orðanotkun í sambandi við hlutföll og prósentureikning. Í þriðja lagi er svo næsta gagnlegt að kunna skil á málnotkun sem tengist allra einföldustu hugtökum tölfræðinnar, svo sem meðaltali; skilja til dæmis hvað átt er við með „meðalhita" eða „meðalúrkomu" o. s. frv.

Hollt er að innræta fólki gagnrýninn hugsanahátt gagnvart tölulegum upplýsingum af þessu tagi. Í fyrsta lagi þarf fólk að gera sér grein fyrir að tölulegar upplýsingar eru oft notaðar í áróðursskyni, til dæmis bæði í auglýsingum og í stjórnmálum, og að framsetningu þeirra má hagræða með ýmsum hætti til að gefa ólíkar myndir af sömu staðreyndum, án þess þó að beinlínis sé sagt rangt frá. Í öðru lagi þarf fólki að vera ljóst að þeir sem setja slíkar upplýsingar fram kunna ekki alltaf að fara rétt með þær, og að hverskonar misskilningur er algengur í fréttaflutningi þar sem tölulegar upplýsingar koma við sögu.

Það hlýtur að vera eitt af markmiðum stærðfræðikennslu að gera skólanemendur læsa á þessa tegund af stærðfræðinotkun í daglegu máli. En næsta skref er erfiðara: að gera nemendur læsa á stærðfræðilegan texta. Með „stærðfræðilegum texta" meinum við hér hvern þann texta sem notar stærðfræðileg hugtök eða stærðfræðileg tákn, eða er skrifaður með þeirri sérstöku nákvæmni í orðalagi sem tíðkast þegar skrifað er um stærðfræðileg efni. Þetta er afar víð skýrgreining og nær yfir texta af mjög ólíku tagi. Við erum auðvitað ekki að fara fram á að nemendur eigi að geta lesið hvaða stærðfræðilegan texta sem er; það er ekki á færi nokkurs manns. Enginn stærðfræðingur er svo vel menntaður að hann gæti skilið nema örlítið brot af stærðfræðitextum sem valdir væru af handahófi úr fagtímaritum og lagðir fyrir hann. En hann mundi væntanlega vita hvernig hann ætti að bera sig að til að fá botn í þá, þótt það kynni að kosta hann verulega fyrirhöfn. Stærðfræðilegur texti annar en sá sem stendur beinlínis í einhverju fagriti stærðfræðinga er venjulega einhverskonar blanda af stærðfræði og venjulegu hversdagsmáli, og sú blanda getur auðvitað verið mjög svo missterk. Það sem við viljum gera að markmiði er að nemendur geti lesið þá stærðfræðilegu texta sem hæfa þeirri þekkingu sem þeir hafa aflað sér hverju sinni og viti nokkurn veginn hvernig þeir eiga að bera sig að við að skilja þá texta sem eru rétt handan þekkingarsviðs þeirra. Sér í lagi þykir okkur miklu skipta að nemendur séu þjálfaðir nægilega vel í lestri stærðfræðilegra texta til að þeir geti lesið kennslubækur sínar í stærðfræði og í greinum sem nota stærðfræði.

Við viljum fyrst vekja athygli á að þessari kröfu er ekki nauðsynlega alltaf framfylgt. Það er ekki sjálfgefið að kennari líti svo á að það sé endilega sérlega mikilvægt að nemendur lesi kennslubækur sínar í stærðfræði. Í stærðfræðikennslu er gífurlega mikil áhersla lögð á að nemendur læri að leysa dæmi, og einatt er víst álitið að það sé hið eina sem þarf að leggja áherslu á. Ef kennari telur sig geta kennt nemendum sínum að leysa dæmin í kennslubókinni jafnvel eða betur en gert er í bókinni sjálfri (og það getur svo sem oft verið rétt mat kennarans), þá virðist honum kannski engin sérstök ástæða vera fyrir hann að hvetja þá til að lesa bókina. En árangurinn kann oft að verða sá að nemendur læra aldrei að lesa stærðfræðitexta, og þá kunna þeir ekki að læra stærðfræði upp á eigin spýtur án aðstoðar kennara. Þetta getur valdið mörgum nemendum sem þurfa að læra stærðfræði og stærðfræðitengd fög í háskóla verulegum erfiðleikum.

Hvað er það þá að vera læs á stærðfræðilegan texta? Það er ekki auðvelt að svara þeirri spurningu nákvæmlega, frekar en náskyldu spurningunni hvað það þýðir að skilja stærðfræði, svo að við getum varla gert okkur vonir um að geta meira en tína til nokkur mikilvæg atriði um hvað í því felst.

Í fyrsta lagi þarf að kunna að lesa stærðfræðilegar skilgreiningar. Aftur erum við að taka um kunnáttu af því tagi sem hæfir þekkingu nemenda á hverjum tíma. Að sjálfsögðu eru skýringar stærðfræðihugtaka í skólabókum oft langt frá því að vera skilgreiningar í skilningi atvinnustærðfræðinga. Þær geta verið allt frá fjarska lauslegum skýringum og upp í raunverulegar skilgreiningar. (Við vonum þó auðvitað að þær séu ekki beinlínis rangar, og ef vel á að vera ekki villandi heldur; það er að minnsta kosti krafa sem við vildum að gerð væri til kennslubókarhöfunda.) Það er þó mikilvægt að nemendur læri að gera sér grein fyrir hvers konar hlutum slík skýring lýsir. En auk þess þurfa þeir líka smátt og smátt að læra að lesa ekkert annað inn í stærðfræðilega skilgreiningu en í henni stendur. Þetta er kannski ekki ýkja mikilvægt í upphafi skólagöngu, þegar hugtök eru sjaldnast skilgreind með nokkrum hætti, en verður sífellt mikilvægara eftir því sem fólk nær lengra í stærðfræðinámi. Ef til dæmis ferningur er skilgreindur sem „ferhyrningur sem hefur öll horn jafnstór og allar hliðar jafnlangar", þá eiga nemendur sem langt eru komnir (segjum til dæmis framhaldsskólanemendur) að gera sér grein fyrir að skilgreiningin segir einungis að hornin séu jafnstór, en ekki til dæmis að þau séu öll rétt, og einungis að allar hliðarnar séu jafnlangar, en ekki til dæmis að hornalínurnar séu líka jafnlangar, þótt svo að í ferningi séu hornin rétt og hornalínurnar jafnlangar. Með öðrum orðum eiga þeir að geta gert greinarmun á því sem í skilgreiningunni stendur og réttum ályktunum af því sem þar stendur (svo að ekki sé minnst á rangar ályktanir).

Í öðru lagi þarf að skilja notkun breytistærða. Eftir að fólk er byrjað að læra algebru þýðir þetta nánast hið sama og að skilja hvernig bókstafir eru notaðir sem heiti fyrir þekktar eða óþekktar stærðir í stærðfræðitexta, og við látum nægja að rifja upp það sem stendur í tilvitnun undir fyrirsögninni „Skilningur á bókstafareikningi" úr [For1997] í 1.4, en endurtökum það ekki hér. Við látum nægja að benda á að orð gegna sama hlutverki og breytistærðir áður en nemendum hefur verið kennd notkun bókstafa í algebru, og þá orðanotkun þarf líka að skilja. Þannig hefur orðið „tölur" í spurningunni „Hvaða tölur gefa sömu útkomu hvort sem þær er margfaldaðar við sjálfa sig eða lagðar við sjálfa sig?" sama hlutverk og bókstafurinn „x" í skipuninni „Leysið jöfnuna x·x = x + x", og því er eðlilegt að líta á það sem „breytistærð".

Í þriðja lagi þarf að skilja hvernig smáorðin og orðasamböndin sem samsvara rökfræðilegum aðgerðum eru notuð í stærðfræði, þar á meðal eru samtengingar eins og „og" og „eða", neitunin „ekki" og orðasambönd á borð við „fyrir sérhvert … er …" og „til er … þannig að …". Þetta reynist mörgum nemendum sérlega erfitt, en greinilega er oft látið sitja á hakanum að hjálpa þeim í þessu efni. Þeim er kannski ekki einu sinni alltaf gert ljóst að notkun sumra þessara orða, svo sem samtengingarinnar „eða", er alls ekki alltaf eins og í daglegu máli. En erfiðast við að læra notkun þessara smáorða í stærðfræðilegum texta er kannski sú tilhneiging stærðfræðinga að búa til úr þeim lengri og knúsaðri samsettar setningar en tíðkanlegt er í daglegu tali. Setning á borð við „fyrir sérhverja tölu y þannig að y > 0 er til tala x þannig að x > 0 og x2 = y" telst afar einföld miðað við það sem tíðkast í stærðfræðitextum.

Það er hins vegar ekki nægilegt að nemendur ráði við að lesa stærðfræðilegan texta, heldur þarf eins fljótt og auðið er að þjálfa þá í að skrifa slíkan texta. Sér í lagi þurfa þeir að fá þjálfun í að setja fram niðurstöður sínar úr venjulegum reikningsdæmum með læsilegum hætti. Á þetta hefur verið lögð sérstök áhersla í [For1997], og við leyfum okkur aftur langa tilvitnun í það rit. Hún er úr kafla sem ber yfirskriftina „Framsetning":  

Einn mikilvægasti þáttur stærðfræðináms á öllum stigum er að læra að gera grein fyrir niðurstöðum sínum, en enginn þáttur virðist vera jafnvanræktur. Það er sárasjaldgæft að þeir sem eru að hefja nám í raunvísindadeild kunni að koma frá sér sæmilega skipulegum og skiljanlegum texta um stærðfræði. Þetta er dálítið skrýtið:

Þegar nemendur vinna að verkefnum í öðrum greinum, til dæmis jarðfræði, sögu eða íslensku, þá finnst þeim sjálfsagt að skila ritgerð sem kennarinn eða hver annar lesandi geti lesið frá upphafi til enda án þess að þurfa að geta í eyðurnar í annarri hverri setningu. Textinn er samfelld heild, þótt inn í hann séu hugsanlega felldar skýringarmyndir og stundum einhver tákn.

Um stærðfræði virðist gegna allt öðru máli. Þar gera jafnvel skörpustu nemendur sig seka um að skila frá sér meira og minna samhengislausum úrlausnum, þar sem formúlum og skýringarmyndum er hrúgað upp án þess að þær séu tengdar saman með neinum skipulegum hætti. Oft vantar allan skýringartexta, og stundum er ekki einu sinni nokkur leið að sjá í hvaða röð á að lesa formúlurnar.

Samt sem áður er uppskriftin að sæmilega góðum stærðfræðitexta afskaplega einföld, nefnilega þessi: Um stærðfræðitexta gilda nákvæmlega sömu reglur og um sérhvern texta á venjulegu máli. Í þessu felst til dæmis að líta skal á skrifaða lausn stærðfræðidæmis sem litla ritgerð sem á að hlíta nákvæmlega sömu reglum og aðrar ritgerðir á íslensku, til dæmis hvað varðar skiljanlegt og skipulegt mál, góðan frágang og skynsamlega greinarmerkjasetningu. Hér á eftir ræðum við um hve nauðsynlegt er til skilnings á stærðfræði að kunna að heimfæra hana á aðrar greinar. Það er ekki síður nauðsynlegt að kunna að nota þekkingu sína á öðrum sviðum við lausn og framsetningu stærðfræðiverkefna, og þá er örugglega mikilvægust sú þekking á ritgerðasmíð sem flestir fá í íslenskunámi.

Góð og skipuleg framsetning á úrlausnum stærðfræðiverkefna hjálpar ekki aðeins þeim sem eiga að lesa textann, heldur einnig þeim sem er að skrifa hann. Að geta gengið skipulega frá hugsunum sínum á venjulegu máli er mikilvægur prófsteinn á hvort rétt hefur verið hugsað. Til að fullvissa sig um að röksemdafærsla standist er besta ráðið að reyna að setja hana fram með skýrum og skipulegum hætti. Vönduð framsetning skerpir hugsunina og minnkar hættuna á meinlokum og aulavillum.
 

Í [For1997] eru síðan gefnar „reglur um framsetningu" og dæmi um hvernig æskilegt væri að setja fram lausn á einföldu stærðfræðiverkefni.

Eins og vikið er að í 1.2 og víðar í þessum hugleiðingum, þá er það eitt af meginmarkmiðum stærðfræðikennslu að nemendur skilji hvað þeir eru að gera, en séu ekki einungis látnir læra vélrænar aðferðir við lausn staðlaðra verkefna. Það er mikilvægur prófsteinn á skilning að geta skýrt öðrum frá hugsunum sínum, eins og segir í síðustu tilvitnun. En það má einnig ganga lengra og spyrja hvort það sé ekki einmitt svo mikilvægur þáttur í skilningi að geta skýrt hlutina út fyrir öðrum að varla sé unnt að tala um nokkurn skilning að öðrum kosti. Það má efast um að til geti verið nokkur „einkaskilningur" sem ein manneskja getur haft út af fyrir sig án þess að geta deilt honum með öðrum.

Við viljum því leggja alveg sérstaklega þunga áherslu á mikilvægi þess að nemendur fái sem besta þjálfun í að lesa og skrifa stærðfræðitexta og ræða þá, allt frá fyrstu árum í grunnskóla, eftir því sem nokkur kostur er. Það á að vera eitt meginmarkmið stærðfræðikennslu að nemendur geti tjáð sig um aðferðir sínar og lausnir sínar á stærðfræðiverkefnum, bæði í töluðu máli og skriflega, og þeir verða að þjálfast í að útskýra aðferðir sínar og niðurstöður fyrir öðrum á skiljanlegu máli.

 

1.7. Stærðfræði á að þjálfa nemendur í rökfastri hugsun.

Sir Francis Bacon, 1597.
 
Það hefur verið viðtekin skoðun frá alda öðli að stærðfræði sé tilvalið fag til að þjálfa nemendur í rökfastri hugsun. Á síðari tímum hafa þó vaknað um það efasemdir, og enn einu sinni getum við kallað Atla Harðarson sem fulltrúa fyrir efasemdaraddirnar. Í [Atl1994] er kafli, 3 bls. að lengd, með yfirskriftinni Stærðfræði og rökrétt hugsun. Við leyfum okkur langa tilvitnun í þennan kafla, vegna þess að svör við athugasemdunum sem þar koma fram má einnig líta á sem svör til margra annarra gagrýnenda.   Hvers vegna skyldi rökrétt hugsun tengjast stærðfræði sterkari böndum en til dæmis bókmenntum eða íþróttum? Það er erfitt að svara þessu þó ekki sé nema vegna þess að það er engan veginn ljóst hvað átt er við þegar talað er um rökrétta hugsun.

Ef rökrétt hugsun er í því fólgin að fylgja reglum eða forskriftum (og er þannig eins konar andstæða skapandi hugsunar) þá er ef til vill hægt að þjálfa fólk í að hugsa rökrétt með því að kenna því reglur til að hugsa eftir og láta það æfa sig í að nota þær.

Eitt af því sem menn þjálfast í þegar þeir iðka stærðfræði er að vinna eftir reglum, en það er vandséð að stærðfræði hafi neina sérstöðu hvað þetta varðar. Menn þjálfast líka í að vinna eftir reglum þegar þeir leika fótbolta. Það er að vísu töluverður munur á reglum eins og víxlreglu, tengireglu eða veldareglum annars vegar og leikreglunum í fótbolta hins vegar. Mér er samt hulin ráðgáta hvers vegna önnur gerðin hentar eitthvað betur en hin til þess að efla rökrétta hugsun.

Kannski er sú rökrétta hugsun sem menn kváðu æfa með því að iðka stærðfræði ekki fólgin í því einu að fylgja reglum. Kannski er hún meira í ætt við hæfileika Sherlock Holmes. Hann er sjáll að átta sig á því hvaða staðreyndir skipta máli, hefur hugmyndaflug til að finna tilgátur sem falla að þeim og næga seiglu til að byrja sífellt aftur frá grunni ef tilgátur hans standast ekki. Líklega eru það hæfileikar í þessum dúr sem flestir eiga við þegar þeir hrósa snillingum á borð við Holmes fyrir rökrétta hugsun.

Ef rökrétt hugsun er ekkert annað en þefvísi á aðalatriði, hugmyndaflug og seigla þá er vandséð að stærðfræði sé betur til þess fallin að efla hana en hvað annað. Trúlega er betra að láta krakka fara í ratleik en leggja fyrir þá reikningsdæmi ef efla á með þeim hæfileika af þessu tagi.

En rökrétt hugsun er ekki bara hæfileiki til að fylgja reglum, þefvísi, hugmyndaflug og seigla. Hún er kannski fyrst og fremst rökvísi eða hæfileiki til að finna út eða skilja hvernig sanngildi einnar fullyrðingar er háð sanngildi annarra fullyrðinga. Það þarf rökvísi af þessu tagi til að átta sig á að ef fullyrðingarnar:  

i. Annað hvort er Páll piparsveinn eða fráskilinn;
ii. Ef Gunnar segir satt þá giftist Páll Guðrúnu árið 1972;
 
eru báðar sannar, þá hlýtur fullyrðingin
  iii. Annað hvort segir Gunnar ósatt eða Páll er fráskilinn,
 
líka að vera sönn. Það er til heilmikil fræðigrein um svona rökvísi og þær reglur sem hún fylgir. Þessi fræðigrein heitir rökfræði. Sumir segja að hún sé móðir stærðfræðinnar en aðrir telja þær systur.

Reglur rökfræðinnar eru eins og reglur málfræðinnar að því leyti að fólk fer eftir þeim án þess að vita hverjar þær eru. Ef til vill er hægt að auka rökvísi fólks alveg eins og hægt er að bæta málkennd þess. Ég veit ekki hvaða aðferðir henta best. Kannski má ná einhverjum árangri með því að kenna fólki rökfræði eða með því að láta það glíma við rökþrautir.

Flest viðfangsefni í stærðfræði krefjast töluverðrar rökvísi. En mér virðist það opin spurning hvort stærðfræði af því tagi sem kennd er í framhaldsskólum efli þann hæfileika neitt frekar en til dæmis tungumálanám þar sem nemandinn þarf sífellt að álykta af málfræðireglum og dæmum hvernig rétt sé að byggja setningar. Þótt stærðfræðinám krefjist ef til vill meiri rökvísi en nám í flestum öðrum greinum er ekki þar með sagt að það efli hana neitt meira en önnur viðfangsefni.

 

Byrjum strax á því að svara fyrstu spurningu Atla. Rökföst (eða rökrétt) hugsun tengist stærðfræði sterkari böndum en til dæmis bókmenntum eða íþróttum einfaldlega vegna þess að stærðfræði byggist öll á röksemdafærslum, og það gera til dæmis bókmenntir og íþróttir alls ekki. Þar með er auðvitað ekki sagt að rökföst hugsun hafi ekki miklu hlutverki að gegna, hvort sem er í bókmenntum, íþróttum eða öðrum greinum, en stærðfræði hefur óneitanlega verulega sérstöðu vegna þess að stærðfræðilegur texti er að mestu leyti ekkert annað en röksemdafærslur. Meginmunurinn á stærðfræði og flestum öðrum vísindagreinum er sá að allar niðurstöður stærðfræðinnar eru staðfestar með röksemdafærslum. Auk þess eru stærðfræðilegar röksemdafærslur nákvæmari, heillegri, skýrari og venjulega pottþéttari en gerist og gengur í öðrum fræðigreinum — einnig þeim sem komast næst stærðfræði í að byggjast á röksemdafærslum, eins og til dæmis sumum sviðum heimspekinnar.

Ekki ætti heldur að þurfa að fara í neinar grafgötur með hver sú rökfasta hugsun er sem hér um ræðir og stærðfræði hefur verið sögð efla. Þar er átt við hæfileikann til að  

1. skilja röksemdafærslur, geta gengið úr skugga um hvenær þær eru réttar og hvenær þær eru rangar, ófullkomnar eða gloppóttar;

2. búa til röksemdafærslur upp á eigin spýtur.
 

Af þessu tvennu er hið síðara ólíkt mikilvægara, en jafnframt reynist oft miklu erfiðara að þjálfa þennan hæfileika hjá nemendum.

Því verður þó að bæta við að verulegur munur kann að vera á stærðfræði sem fræðigrein annarsvegar og sem kennslugrein hins vegar. Það sem hér var sagt um stærðfræði og röksemdafærslur á fyrst og fremst við um fræðigreinina, en hvort það á við um kennslugreinina fer afskaplega mikið eftir því hvernig stærðfræði er kennd. Hve mikil áhersla er lögð á rökfasta hugsun í stærðfræðikennslu hefur verið afar breytilegt frá einum tíma til annars og eflaust einnig frá einum kennara til annars. Á hinn bóginn eru röksemdafærslur lífblóð stærðfræðinnar, og því má með sanni segja að þegar lítil áhersla er lögð á þær í stærðfræðikennslu eða þeim jafnvel alveg sleppt, þá sé alls ekki verið að kenna fólki stærðfræði, heldur eitthvað allt annað, til dæmis einhverskonar reiknitækni. Gagnrýnendur þeirrar hugmyndar að stærðfræði sé kjörin til að þjálfa nemendur í rökfastri hugsun hafa eitt til síns máls: Þótt varla verði efast um að stærðfræði hljóti að þjálfa fólk í rökfastri hugsun (því að öðruvísi verður hún alls ekki lærð) er ekki þar með sagt að skólanám í stærðfræði hljóti nauðsynlega að gera það: Stærðfræðinám getur ekki þjálfað nemendur í rökfastri hugsun nema veruleg áhersla sé lögð á þennan mikilvæga þátt stærðfræðinnar, og það er því miður ekki alltaf gert. Okkur hlýtur þó að vera óhætt að álykta: ef stærðfræðinám þjálfar nemendur ekki í rökfastri hugsun, þá er eitthvað bogið við kennsluna.

Þegar Atli spyr hvort rökrétt hugsun sé „í því fólgin að fylgja reglum eða forskriftum" er ekki alls kostar ljóst hvað hann á við; meðal annars vegna þess að dæmin sem hann tekur af reglum í stærðfræði — nefnilega víxlregla, tengiregla og veldareglur — virðast út í hött í því samhengi sem þau eru sett í og samanburður þeirra við leikreglur í fótbolta enn frekar, því að það er ekki fólk sem hlítir víxlreglum, tengireglu og veldareglum, heldur eru það tölur, og því gæti til dæmis enginn maður „unnið eftir" víxlreglu í nokkrum sambærilegum skilningi við að fara eftir reglum í fótbolta — og enn síður gæti hann brotið hana eins og hann gæti brotið fótboltareglu.

Hins vegar má kannski ætla að Atli hafi í raun allt önnur dæmi í huga, því að í stærðfræðikennslu eru nemendum vissulega einatt kenndar tilteknar aðferðir til að leysa verkefni af sérstöku tagi, og þeim er sagt að fara eftir tilteknum reglum eða forskriftum. Hér er venjulega um að ræða reiknirit (algóritma) sem gefa lausnir á tilteknum verkefnum sé þeim fylgt í blindni. Dæmi um slík reiknirit eru til dæmis venjulegar aðferðir sem eru kenndar í skólum til að margfalda saman heilar tölur (í tugakerfi) og deila einni heilli tölu upp í aðra með afgangi, eða þá algengar aðferðir til að leysa algebrulegar jöfnur af tilteknu tagi. Reiknirit eru einatt sett fram með reglum sem þarf að fylgja einni af annarri til að fá útkomuna sem óskað er eftir, og því má segja að fólk vinni eftir reglum þegar það notar þau. En reiknirit eru ekki stærðfræði, heldur eru þau að réttu lagi viðfangsefni stærðfræðinnar, rétt eins og sjúkdómar eru ekki læknisfræði, heldur viðfangsefni læknisfræðinnar. Að fara eftir reikniriti á að sjálfsögðu ekkert skylt við rökfasta hugsun, og þess vegna verður rökföst hugsun ekki þjálfuð með því að æfa fólk í að fara eftir reikniritum. Ef einhverja stærðfræði fyrir venjulegan skólanemanda má finna í reikniriti, þá felst hún í því að skilja hvers vegna það gefur alltaf rétta útkomu; — og að baki reikniritinu er að sjálfsögðu stærðfræðiþekking þess sem fann það upp og sannaði að það gæfi alltaf rétta útkomu.

Nú er þess að gæta að stundum getur verið merkilega skammt á milli reiknirits og sönnunar þess að það gefi rétta útkomu, og svo er til dæmis um flestar venjulegar aðferðir sem kenndar eru í skólum til að leysa algebrulegar jöfnur. Þar getur stundum einungis munað orðalagi hvort lausnaraðferð er sett fram sem reiknirit eða sem samfelld keðja af rökréttum ályktunum. Svo að allraeinfaldasta hugsanlegt dæmi sé valið, þá má kenna fólki að lausn jöfnu af gerðinni x + a = b hljóti að vera talan x = ba hvort sem er sem reikniritsforskrift („einangrið óþekktu stærðina öðrum megin jafnaðarmerkisins með því að flytja þekktu stærðirnar yfir jafnaðarmerkið og gæta þess að stærð sem er lögð við eða dregin frá öðrum megin jöfnunnar breytir um formerki við slíkan flutning") eða sem rökrétta ályktun („þar sem x + a er sama stærðin og b hljótum við að fá sömu útkomu þegar við drögum a frá hvorri stærðinni fyrir sig"). Það er sjálfgert að búa til flóknari (og þá jafnframt meira sannfærandi) dæmi. Mikilvægt er að nemendur átti sig á röksamhenginu í reikniaðferðum sem þessum. En það gera þeir ekki nema þeim sé kennt það sérstaklega. Það er mikilvægur þáttur í að þjálfa rökhugsun nemenda að gera þeim ljóst röksamhengið í venjulegum reikniaðferðum.

Einn veigamikill munur á að læra lausnaraðferð sem reiknirit annarsvegar og sem keðju af rökréttum ályktunum hins vegar er þessi: Sá sem leysir verkefni eftir reikniriti þarf að muna reikniritið alveg fullkomlega; ef hann gleymir þó ekki sé nema einu örlitlu smáatriði, þá er hann bjargarlaus. Sá sem hefur lært hvernig eitt leiðir af öðru í lausnaraðferðinni ætti að vera betur undir það búinn að fylla upp í minnisgloppur eða jafnvel að endurgera aðferðina í huga sér, þótt hann hafi gleymt henni að hluta eða næstum alveg.

Nú má einnig til sanns vegar færa að í röksemdafærslum sé sífellt verið að fara eftir reglum, nefnilega reglum rökfræðinnar. Það er þó einungis rétt í sama skilningi og segja má að fólk sé sífellt að fara eftir reglum málfræðinnar þegar það talar, eins og Atli Harðarson bendir á í ofangreindri tilvitnun: Fólk fer eftir þeim án þess að vita hverjar þær eru. Með svipuðum hætti má eflaust gera ráð fyrir að skáld geti ort hefðbundið kvæði ef það hefur „brageyra" án þess að gera sér meðvitaða grein fyrir reglum bragfræðinnar. Þessa reglur eru fundnar „eftirá"; reglur málfræðinnar með því að athuga hvernig fólk talar og skrifar, reglur bragfræðinnar með því að athuga hvernig það yrkir og reglur rökfræðinnar með því að athuga hvernig það dregur ályktanir.

Það er vissulega einn af stórsigrum stærðfræðilegrar rökfræði á 19. og 20. öld að tekist hefur að finna allar þær rökreglur sem notaðar eru í stærðfræðilegum sönnunum. En varla væri skynsamlegt að ætla sér að kenna fólki rökfasta hugsun með því að láta það læra þessar rökreglur og segja því síðan að fara eftir þeim, því að þær eru varla skiljanlegar öðrum en þeim sem hafa þegar öðlast talsverða þekkingu á og æfingu í röksemdafærslum, rétt eins og reglur bragfræðinnar hljóta að vera óskiljanlegar öðrum en þeim sem þekkja talsvert af vísum og kvæðum. Þegar nemendur hafa fengið einhverja þjálfun í röksemdafærslum getur þeim hins vegar verið mikið gagn í að kynnast ýmsum einföldum en mikilvægum rökreglum, þótt ekki sé reynt að gera þeim grein fyrir þeim öllum, rétt eins og það getur hjálpað verðandi skáldi að kenna því reglur bragfræðinnar.

Að reglur rökfræðinnar eru þekktar hefur meðal annars í för með sér að sá sem kann þær getur gengið úr skugga um það með tiltölulega vélrænum hætti hvort tiltekin röksemdafærsla er rétt eða röng. Þekking á reglunum tryggir hins vegar alls ekki að fólk geti sett saman röksemdafærslur, frekar en þekking á bragreglum tryggir að fólk geti ort góð kvæði.

Mikilvægara en að læra rökreglur er því að nemendur geri sér ljóst röksamhengi þess sem þeir eru að fást við hverju sinni. Og það verður best gert með því að þeir venjist því að þurfa að gera grein fyrir niðurstöðum sínum og rökstyðja þær, bæði í töluðu og rituðu máli. Þetta tengist óhjákvæmilega þeirri kröfu sem við lögðum áherslu á í 1.6 að nemendur læri að tjá sig skýrt um aðferðir sínar.

Við þetta má þó bæta að ólíkir hlutar skólastærðfræðinnar gefa afskaplega ólík tækifæri til að þjálfa rökfasta hugsun. Bestu tækifærin gefa þau svið þar sem unnið er með hugtök sem tiltölulega einfalt er að skilgreina en gefa þó tilefni til flókinna röksemdafærslna. Reynslan virðist benda til að rúmfræði og talnafræði séu einkar tilvalin til slíkra nota.
 

1.8. Stærðfræði á að kenna fólki að takast á við margvísleg verkefni og finna lausnir á þeim með kerfisbundum hætti.  
Það er ekkert nýtt að í stærðfræðikennslu sé áhersla lögð á lausn margvíslegra verkefna. Dæmareikningur hefur löngum verið mikilvægur þáttur í stærðfræðinámi, og sannast sagna hefur hann einatt yfirgnæft allt annað. Á síðustu árum hefur orðið nokkur breyting hér á, ekki þó til að draga úr mikilvægi þess að nemendur leysi verkefni — þvert á móti — heldur hafa menn viljað líta öðrum augum á hvaða tilgangi slík verkefni eigi að hafa í stærðfræðinámi, hvernig þau eiga að vera og hvernig þjálfa eigi nemendur til að leysa þau. Þessar skoðanir hafa einatt verið settar fram undir slagorðinu „problem solving", sem hefur verið þýtt „þrautalausnir", og við munum einnig nota það orð. Það þykir nú víða tilhlýðilegt að leggja ofuráherslu á þrautalausnir. Þeim er til dæmis mjög hampað í [Sta1989] og [Sta1991], og í ritgerð eftir Alan H. Schoenfeld í virðulegri handbók eru settar fram nokkuð öfgakenndar fullyrðingar um mikilvægi þeirra; þar er þrautalausnum meðal annars lýst sem glænýrri aðferð í stærðfræðikennslu sem eigi að leysa flestan vanda hennar og byggist auk þess á glænýjum skilningi á eðli stærðfræðinnar. Nýnæmi aðferðarinnar er þó að minnsta kosti umdeilanlegt, og nýi skilningurinn virðist einkum felast í að leggja lítillega breyttar áherslur á löngu kunnar staðreyndir.

Það hjálpar ekki til að meta þessar staðhæfingar um mikilvægi þrautalausna að orðasambandið „problem solving" hefur verið notað í ólíkum merkingum af ólíkum höfundum, eins og Schoenfeld gerir raunar nokkra grein fyrir í nefndri ritgerð. Við gerum ekki tilraun hér til að greina ólíkar merkingar orðanna, heldur látum nægja að velta fyrir okkur hvaða merkingu helstu málsvarar þrautalausna sem nýrrar lausnar í stærðfræðikennslu leggja í þau. Ljóst er að þrautalausnir í þeirri merkingu felast meðal annars í að leysa það sem kallast „nonroutine problems" og við gætum kallað „óstaðlaðar þrautir" eða einfaldlega „þrautir"; en með því er fyrst og fremst átt við verkefni þar sem alls ekki er fyrirfram augljóst þeim sem verkefnið er lagt fyrir hvaða lausnaraðferðir koma að gagni. Einnig er næsta ljóst að einhverju meira en þessu er einnig ætlað að felast í hugtakinu þrautalausnir, en nákvæmlega hvað það er hefur tilhneigingu til að hverfa í móðu óljósra orða. Í [Sta1991] er hugtakið til dæmis útlistað fyrir kennurum (eða kennaraefnum) með eftirfarandi hætti:  

Að kenna stærðfræði frá þrautalausnasjónarmiði þýðir meira en að leysa óstaðlaðar en oft einangraðar þrautir eða dæmigerð kennslubókardæmi. Í því felst sú hugsun að sjálft inntakið í stærðfræðinámi sé æfing í að kanna, setja fram tilgátur, athuga og prófa—allt eru þetta hliðar á þrautalausnum. Búa skal til og leggja fyrir verkefni sem eru nemendunum aðgengileg og víkka út þekkingu þeirra á stærðfræði og þrautalausnum. Gefa ætti nemendum tækifæri til að setja fram þrautir úr gefnum kringumstæðum og búa til nýjar þrautir með því að breyta skilyrðunum í gefinni þraut.

Kennarar ættu að taka þátt í stærðfræðilegum samræðum við nemendur um þrautalausnir. Í þessu felst meðal annars að ræða um ólíkar lausnir og lausnaráætlanir fyrir gefna þraut, hvernig má útvíkka lausnir og alhæfa, og um ólíkar þrautir sem búa má til úr gefnum kringumstæðum. Það á að láta öllum nemendum finnast að þeir hafa eitthvað til málanna að leggja þegar þraut er rædd. Mat [þessa þáttar í kennslu] ætti að beinast að því hvort verið sé að kenna stærðfræði þannig að stuðlað sé að þessum hliðum þrautalausna.

Sem skýring á hugtakinu virðist þessi klausa einungis fara í endalausa hringi. Í ritgerð Schoenfelds er reynt að skýra hugtakið í miklu lengra máli. Ekki skýrist þó alveg af þeirri umfjöllun hvort þraut er eitthvað annað og meira en verkefni sem ekki er fyrirfram ljóst hvernig á að leysa, þótt hugtakið sé vissulega sett í víðara samhengi. Til dæmis er rætt í löngu máli hvort eða að hve miklu leyti sé unnt að kenna almennar aðferðir eða áætlanir um hvernig ráðast eigi til atlögu við slíkar þrautir.

Við skulum þá í bili láta okkur nægja að skilja hugtakið þrautalausnir þrengsta skilningi, nefnilega þeim að leysa verkefni með aðferðum sem sá sem leysa skal verður fyrst að finna sjálfur. Hugtakið þraut er þá fyrst og fremst sett fram til aðgreiningar frá æfingardæmi, sem er ætlað til að þjálfa nemendur í tilteknum fyrirfram gefnum aðferðum (sem geta til dæmis verið einhverskonar reiknirit). Þrautir í þessum skilningi eru auðvitað engar nýjungar, heldur hafa þær tíðkast öldum saman, þótt einfaldari reikningsdæmi séu eflaust algengari í kennslubókum.

Við viljum heilshugar taka undir mikilvægi slíkra þrauta og teljum að gera eigi þeim miklu hærra undir höfði en oft hefur verið raunin. Til þess liggja margar ástæður:

Í fyrsta lagi er vinna við þrautir í þessum skilningi að einhverju leyti líkari því sem kann að henda fólk utan skólastofunnar: Þegar leysa þarf stærðfræðileg verkefni sem koma upp í þjóðfélaginu eða í vísindum er aðferðin aldrei gefin fyrirfram.

Í öðru lagi gefa þrautalausnir tilefni til fjölbreytilegra vinnuaðferða, sem eru lærdæmsríkar í sjálfum sér, svo sem umræðna milli nemenda og kennara, hópvinnu og annarrar samvinnu.

Í þriðja lagi getur vinna að slíkum þrautum verið skemmtilegri fyrir nemendur en dæmi þar sem fyrirfram gefinni aðferð er beitt nokkurnveginn hugsanalaust á mörg verkefni af sama tagi.

Í fjórða lagi eru þrautalausnir betur til þess fallnar en lausnir einfaldari reikningsdæma að þjálfa ýmsa þá þætti sem við höfum lagt áherslu á hér á undan. Til dæmis þjálfa þær rökhugsun frekar en vanagang, frumkvæði frekar en framtaksskort, og auk þess gefa þær margskonar tilefni til að fá nemendur til að tjá sig skipulega um hugsanir sínar, hvort sem þeir þurfa að koma hugmyndum að lausnum skiljanlega á framfæri við samnemendur sína eða kennara eða að gera grein fyrir niðurstöðum sínum þegar lausn er fundin.

Í fimmta lagi læra nemendur að þrautir eru til að yfirvinna þær, og að unnt er með skipulögðum vinnubrögðum og hugkvæmni að leysa verkefni sem er alls ekki ljóst fyrirfram hvernig leysa skal.

Þótt við viljum þannig mæla með stóraukinni áherslu á þrautalausnir í stærðfræðikennslu þykir okkur samt nauðsynlegt að vara við þeim óraunsæju vonum sem sumir virðast hafa bundið við þær. Þær vonir virðast byggjast á þeirri skoðun að stærðfræði sé, þegar öllu er á botninn hvolft, ekkert annað en þrautalausnir. Þessi skoðun á eðli stærðfræðinnar er, hversu vel sem hún virðist studd með tilvitnunum í fræga stærðfræðinga, í besta falli yfirmáta einfeldningsleg, en í versta falli hættuleg, því að þeir sem aðhyllast hana virðist hafa tilhneigingu til að álykta að hið eina sem þurfi til að kenna fólki stærðfræði sé að kenna því þrautalausnir. Þessa tilhneigingu má til dæmis greina í einkar skýrri mynd í ofangreindri ritgerð eftir Schoenfeld, þar sem hann lætur víða að því liggja að aðferðir stærðfræðinnar séu það sem öllu máli skiptir, en að stærðfræðilegt innihald megi sitja á hakanum.

Hugmyndir sem þessar virðast byggjast á þeirri skoðun að unnt sé að læra að leysa þrautir í einhverskonar tómarúmi, án nokkurrar sérstakrar þekkingar á nokkrum hlut, og án þess að hafa neitt að vopni annað en tiltölulega óljósar almennar aðferðir hvernig eigi að takast á við þrautir almennt og yfirleitt, um hvað sem þær kunni að snúast. Ekkert er fjarri sanni.

Ef saga stærðfræðinnar síðustu þrjár árþúsundir eða svo sýnir okkur eitthvað, þá er hið helsta örugglega að hugtakasmíð er svo að ekki verður um villst einn mikilvægasti þátturinn í framþróun stærðfræðinnar. Eins og vikið var að í 1.5 úreldast niðurstöður stærðfræðinnar ekki með sambærilegum hætti og tilhneiging virðist til í öðrum vísindum. Þess í stað tekur hver kynslóð við hugtökum hinnar næstu á undan, endurskoðar þau, breytir þeim og fellir þau inn í nýtt samhengi. Þannig hafa hugtök stærðfræðinnar verið að þróast og breytast, stundum hægt, en stundum í stökkum, kynslóð fram af kynslóð, og að baki margra hugtakanna liggja sumar dýpstu hugsanir helstu hugsuða mannkynsins í aldaraðir. Eftir því sem hugtökin verða fágaðri, því auðveldara er að nota þau, og því víðtækari afleiðingar hefur notkun þeirra í för með sér. Þau eru felld inn í víðfeðmar stærðfræðikenningar, sem nú orðið skipta tugum ef ekki hundruðum (eftir því hvernig talið er), og kenningasmíð er kannski helsta viðfangsefni atvinnustærðfræðinga. Flest af þessum kenningum er komið óralangt frá venjulegri skólastærðfræði, en öðru hvoru rata þó hugtök úr þeim alla leið niður í grunnskóla; það kom til dæmis fyrir nokkur hugtök mengjafræðinnar fyrir fáeinum áratugum. Ný hugtök kenna okkur ekki einungis að hugsa á nýjan hátt, þau kenna okkur líka að leysa nýjar þrautir, sem voru óviðráðanlegar án þeirra. Sönnunin á síðustu setningu Fermats, sem var minnst á í 1.5, er einmitt fullkomið dæmi um þraut sem lítur við fyrstu sýn út eins og tiltölulega einfalt reikningsdæmi, en tókst ekki að leysa fyrr en á hana var beitt mörgum nýjum kenningum og aragrúa nýrra hugtaka, sem virðast ekki standa í neinum tengslum við upphaflegu þrautina og eru einatt sprottin upp í allt öðru samhengi.

Það er því einhver nauðsynlegasti hluti af stærðfræðikennslu að nemendur öðlist næga þekkingu á þeim undirstöðuhugtökum og hugmyndum sem gagnast þeim best til að takast á við margbreytilegar þrautir sem hæfa þroska þeirra hverju sinni. Þrátt fyrir vinsælar kenningar um að nemendur eigi frekar að „uppgötva" stærðfræðihugtök en að læra þau og að stærðfræði sé „atferli" frekar en „þekking" er örugglega óraunsætt að ætla að skólanemendur geti dags daglega enduruppgötvað hugtök sem færustu stærðfræðingar hafa verið að móta öldum saman. Þekking á þessum hugtökum og þjálfun í meðferð þeirra verður því áfram mikilvægasti hluti stærðfræðináms. Það breytir þó ekki þeirri niðurstöðu að notkun hugtakanna við þrautalausnir eins og hér hefur verið lýst hlýtur að vera einhver mikilvægasti þátturinn í þeirri þjálfun.

Að lokum viljum við bæta því við að ekki er síður mikilvægt að kunna að búa til þrautir en að leysa þær. Það skiptir oft ekki minna máli að kunna að spyrja réttu spurninganna en að svara spurningum sem aðrir hafa spurt.

 
 

Fyrri síða 
Yfirlit
Næsta síða


Menntamálaráðuneytið 1998. Kristín Bjarnadóttir kristinb@ismennt.is